Sendo W=\left\{(x, y, z) \in R^{3} / z=x+y\right\}, obtenha uma base para W e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto W de \mathbb{R}^3 definido por uma equação linear entre coordenadas:
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = x + y\}.
O que é pedido:
  • Obter uma base para W.
  • Determinar a dimensão de W.
Informações relevantes fornecidas:
  • A coordenada z está expressa em função de x e y pela relação z=x+y.
  • Não há outras restrições: x e y podem ser quaisquer números reais.

Passo 2

Vamos parametrizar os vetores de W usando x e y como variáveis livres. Isso significa escrever um vetor genérico de W em função de parâmetros (vou chamar os parâmetros de s e t):
x=s,\qquad y=t,\qquad z=s+t,
onde s,t\in\mathbb{R}. Então um vetor genérico de W é
(s,t,s+t).

Passo 3

Escrevendo (s,t,s+t) como combinação linear dos vetores canônicos que aparecem naturalmente, fatoramos s e t:
(s,t,s+t)=s\,(1,0,1)+t\,(0,1,1).
Isso mostra duas coisas importantes:
  • Todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear de (1,0,1) e (0,1,1). Em notação, W\subseteq\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
  • Reciprocamente, qualquer combinação linear s(1,0,1)+t(0,1,1) tem terceira coordenada s+t, logo pertence a W. Assim \operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}\subseteq W.
Concluímos que
W=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
Aqui eu usei a ideia de span: o span de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores — é exatamente o conjunto que eles geram.

Passo 4

Agora precisamos verificar se os vetores (1,0,1) e (0,1,1) são linearmente independentes (porque uma base é um conjunto que gera o espaço e cujos vetores são linearmente independentes).
Testamos linear independência: suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a(1,0,1)+b(0,1,1)=(0,0,0).
Isso dá o sistema de equações coordenada a coordenada:
(a,\,b,\,a+b)=(0,0,0).
Da primeira e segunda coordenadas obtemos a=0 e b=0. A terceira coordenada a+b=0 então é satisfeita automaticamente. Como a única solução é a=b=0, os vetores são linearmente independentes.
Explicando em linguagem leve: não dá para escrever um dos vetores como múltiplo do outro nem como combinação não trivial do outro — por isso são independentes.

Passo 5

Como (1,0,1) e (0,1,1) geram W e são linearmente independentes, eles formam uma base de W.
A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em qualquer base. Aqui a base encontrada tem dois vetores, portanto
\dim(W)=2.
Dica rápida de prova: outra abordagem seria ver W como o espaço solução da equação linear -x - y + z = 0. Essa única equação linear independente em \mathbb{R}^3 reduz a dimensão em 1, dando dimensão 3-1=2 — chega-se à mesma conclusão.

Resposta

Base: \{(1,0,1),(0,1,1)\}
Dimensão: \;2

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