Sendo
, obtenha uma base para W e a dimensão de W.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
de
definido por uma equação linear entre coordenadas:
O que é pedido:
- Obter uma base para
. - Determinar a dimensão de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A coordenada
está expressa em função de e pela relação . - Não há outras restrições:
e podem ser quaisquer números reais.
Passo 2
Vamos parametrizar os vetores de
usando
e
como variáveis livres. Isso significa escrever um vetor genérico de
em função de parâmetros (vou chamar os parâmetros de
e
):
onde
. Então um vetor genérico de
é
Passo 3
Escrevendo
como combinação linear dos vetores canônicos que aparecem naturalmente, fatoramos
e
:
Isso mostra duas coisas importantes:
- Todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear de e . Em notação, . - Reciprocamente, qualquer combinação linear
tem terceira coordenada , logo pertence a . Assim .
Concluímos que
Aqui eu usei a ideia de span: o span de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores — é exatamente o conjunto que eles geram.
Passo 4
Agora precisamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes (porque uma base é um conjunto que gera o espaço e cujos vetores são linearmente independentes).
Testamos linear independência: suponha que existam escalares
tais que
Isso dá o sistema de equações coordenada a coordenada:
Da primeira e segunda coordenadas obtemos
e
. A terceira coordenada
então é satisfeita automaticamente. Como a única solução é
, os vetores são linearmente independentes.
Explicando em linguagem leve: não dá para escrever um dos vetores como múltiplo do outro nem como combinação não trivial do outro — por isso são independentes.
Passo 5
Como
e
geram
e são linearmente independentes, eles formam uma base de
.
A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em qualquer base. Aqui a base encontrada tem dois vetores, portanto
Dica rápida de prova: outra abordagem seria ver
como o espaço solução da equação linear
. Essa única equação linear independente em
reduz a dimensão em
, dando dimensão
— chega-se à mesma conclusão.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: