(2pt) Suponha que
seja uma função diferenciável. Use a Regra da cadeia para verificar que
Passo 1
O enunciado dá que
é uma função diferenciável e pede para verificar a igualdade
quando se considera a função composta obtida substituindo as entradas de
por
. Vou explicitar isso: defino a função composta
A tarefa é mostrar que, para essa função composta
, vale
(Nota: a notação do enunciado
refere-se a essa derivada parcial da função composta em relação a
.)
Passo 2
Vou usar a Regra da cadeia para funções de várias variáveis. Primeiro, crio nomes simples para as três entradas de
:
Assim
.
A Regra da cadeia para esta composição diz o seguinte (é importante entender o que cada termo significa):
Aqui:
-
, e são as derivadas parciais de em relação às suas três entradas; elas são avaliadas no ponto . -
, , são as derivadas (parciais) das funções internas em relação a , tratando como constantes.
A mesma forma vale para
e
, trocando
pela variável apropriada.
Passo 3
Calculo agora as derivadas parciais das funções internas
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Esses números saem direto porque
são funções lineares simples em
: por exemplo
diminui uma unidade quando
aumenta uma unidade, logo
.
Passo 4
Agora aplico a Regra da cadeia explicitamente. Para abreviar, escrevo
sempre avaliados no ponto
.
Usando as derivadas das funções internas do Passo 3, obtemos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Lembre que cada
acima é avaliado em
; estou omitindo essa indicação em cada termo para não poluir a escrita, mas ela é tacitamente necessária.
Passo 5
Finalmente somo as três derivadas parciais obtidas:
Agora vemos que todos os termos se cancelam:
Portanto a soma é zero em todo ponto
. Resultado obtido — missão cumprida! Dá uma sensação boa ver as cancelinhas acontecerem, né?