(2pt) Suponha que g(z-x, x-y, y-z) seja uma função diferenciável. Use a Regra da cadeia para verificar que
\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}=0

Passo 1

O enunciado dá que g é uma função diferenciável e pede para verificar a igualdade
\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}=0,
quando se considera a função composta obtida substituindo as entradas de g por z-x,\;x-y,\;y-z. Vou explicitar isso: defino a função composta
G(x,y,z):=g\bigl(z-x,\;x-y,\;y-z\bigr).
A tarefa é mostrar que, para essa função composta G, vale
\frac{\partial G}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial y}+\frac{\partial G}{\partial z}=0.
(Nota: a notação do enunciado \partial g/\partial x refere-se a essa derivada parcial da função composta em relação a x.)

Passo 2

Vou usar a Regra da cadeia para funções de várias variáveis. Primeiro, crio nomes simples para as três entradas de g:
u:=z-x,\qquad v:=x-y,\qquad w:=y-z.
Assim G(x,y,z)=g\bigl(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)\bigr).
A Regra da cadeia para esta composição diz o seguinte (é importante entender o que cada termo significa):
\frac{\partial G}{\partial x}= \frac{\partial g}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial g}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial x} +\frac{\partial g}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial x}.
Aqui:
  • \dfrac{\partial g}{\partial u}, \dfrac{\partial g}{\partial v} e \dfrac{\partial g}{\partial w} são as derivadas parciais de g em relação às suas três entradas; elas são avaliadas no ponto (u,v,w)=(z-x,x-y,y-z).
  • \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial v}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial x} são as derivadas (parciais) das funções internas u,v,w em relação a x, tratando y,z como constantes.
A mesma forma vale para \partial G/\partial y e \partial G/\partial z, trocando x pela variável apropriada.

Passo 3

Calculo agora as derivadas parciais das funções internas u,v,w:
  • Para u(z,x,y)=z-x:
    \frac{\partial u}{\partial x}=-1,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=1.
  • Para v(x,y,z)=x-y:
    \frac{\partial v}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-1,\qquad \frac{\partial v}{\partial z}=0.
  • Para w(y,z,x)=y-z:
    \frac{\partial w}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=-1.
Esses números saem direto porque u,v,w são funções lineares simples em x,y,z: por exemplo u=z-x diminui uma unidade quando x aumenta uma unidade, logo \partial u/\partial x=-1.

Passo 4

Agora aplico a Regra da cadeia explicitamente. Para abreviar, escrevo
g_u:=\frac{\partial g}{\partial u},\qquad g_v:=\frac{\partial g}{\partial v},\qquad g_w:=\frac{\partial g}{\partial w},
sempre avaliados no ponto (u,v,w)=(z-x,x-y,y-z).
Usando as derivadas das funções internas do Passo 3, obtemos:
  • Para \dfrac{\partial G}{\partial x}:
\frac{\partial G}{\partial x} = g_u\cdot\frac{\partial u}{\partial x} + g_v\cdot\frac{\partial v}{\partial x} + g_w\cdot\frac{\partial w}{\partial x} = g_u\cdot(-1) + g_v\cdot(1) + g_w\cdot(0) = -g_u + g_v.
  • Para \dfrac{\partial G}{\partial y}:
\frac{\partial G}{\partial y} = g_u\cdot\frac{\partial u}{\partial y} + g_v\cdot\frac{\partial v}{\partial y} + g_w\cdot\frac{\partial w}{\partial y} = g_u\cdot(0) + g_v\cdot(-1) + g_w\cdot(1) = -g_v + g_w.
  • Para \dfrac{\partial G}{\partial z}:
\frac{\partial G}{\partial z} = g_u\cdot\frac{\partial u}{\partial z} + g_v\cdot\frac{\partial v}{\partial z} + g_w\cdot\frac{\partial w}{\partial z} = g_u\cdot(1) + g_v\cdot(0) + g_w\cdot(-1) = g_u - g_w.
Lembre que cada g_u,g_v,g_w acima é avaliado em (z-x,x-y,y-z); estou omitindo essa indicação em cada termo para não poluir a escrita, mas ela é tacitamente necessária.

Passo 5

Finalmente somo as três derivadas parciais obtidas:
\frac{\partial G}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial y}+\frac{\partial G}{\partial z} =(-g_u+g_v)+(-g_v+g_w)+(g_u-g_w).
Agora vemos que todos os termos se cancelam:
-g_u+g_v-g_v+g_w+g_u-g_w=0.
Portanto a soma é zero em todo ponto (x,y,z). Resultado obtido — missão cumprida! Dá uma sensação boa ver as cancelinhas acontecerem, né?

Resposta

\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}=0

Exercícios relacionados