A função é f(x,y)=\dfrac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, definida em todos os pontos em que x^{2}+y^{2}\neq0.
O ponto de interesse é (x,y)=(0,0), onde o denominador zera e a expressão não está definida — por isso a pergunta é se o limite existe e, se existir, qual é o seu valor.
O objetivo é encontrar o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho no plano.
Passo 2
Qual método usar? Vou explicar rapidamente as opções (sem me alongar demais): testar caminhos diferentes ou usar coordenadas polares. Testar caminhos pode mostrar que o limite NÃO existe se der resultados diferentes por caminhos distintos. Porém, se os resultados parecem todos iguais, uma prova mais robusta é usar coordenadas polares (porque elas parametrizam a distância até a origem por um único parâmetro r). Vou usar coordenadas polares porque aqui isso simplifica muito e permite provar a existência do limite de forma limpa.
Passo 3
Lembrete sobre coordenadas polares (aula rápida): escrevemos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 é a distância ao ponto (0,0) e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a r\to0^{+} (o ângulo \theta pode ser qualquer coisa entre 0 e 2\pi). A vantagem é isolar a pequena quantidade r que tende a zero.
Antes de substituir, faço uma pequena fatoração útil da expressão:
Como |\cos\theta|\le1 e |\cos 2\theta|\le1 para todo \theta, segue que
\left| \frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \right| \le r.
Mas r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} tende a 0 quando (x,y)\to(0,0). Pelo princípio do confronto (squeeze theorem), como o lado esquerdo está em módulo limitado por r e r\to0, concluímos que
Observação intuitiva: mesmo que \cos\theta\cos2\theta dependa do ângulo, ele é sempre limitado em módulo por 1, e o fator r força o produto a zero. Logo o limite existe e é 0.
Passo 6
Verificação por caminhos simples (para ganhar confiança): se tomarmos a reta y=kx (com k fixo), então