(2pt) Encontre o limite ou mostre que não existe.
\lim _{(x, y) \longrightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, definida em todos os pontos em que x^{2}+y^{2}\neq0.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0), onde o denominador zera e a expressão não está definida — por isso a pergunta é se o limite existe e, se existir, qual é o seu valor.
  • O objetivo é encontrar o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho no plano.

Passo 2

Qual método usar? Vou explicar rapidamente as opções (sem me alongar demais): testar caminhos diferentes ou usar coordenadas polares. Testar caminhos pode mostrar que o limite NÃO existe se der resultados diferentes por caminhos distintos. Porém, se os resultados parecem todos iguais, uma prova mais robusta é usar coordenadas polares (porque elas parametrizam a distância até a origem por um único parâmetro r). Vou usar coordenadas polares porque aqui isso simplifica muito e permite provar a existência do limite de forma limpa.

Passo 3

Lembrete sobre coordenadas polares (aula rápida): escrevemos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 é a distância ao ponto (0,0) e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a r\to0^{+} (o ângulo \theta pode ser qualquer coisa entre 0 e 2\pi). A vantagem é isolar a pequena quantidade r que tende a zero.
Antes de substituir, faço uma pequena fatoração útil da expressão:
\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = x\cdot\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Substituo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta passo a passo:
  • Calculando x^{2}-y^{2}:
x^{2}-y^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta) = r^{2}\cos 2\theta.
  • O denominador é
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
  • Assim a função vira (para r>0):
\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = r\cos\theta\cdot\frac{r^{2}\cos 2\theta}{r^{2}} = r\cos\theta\cos 2\theta.
Portanto, para qualquer \theta e r>0,
f(r,\theta)=\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = r\cos\theta\cos 2\theta.

Passo 5

Agora faço a estimativa que prova o limite: tome o valor absoluto
\left| \frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \right| = |r\cos\theta\cos 2\theta| = r\,|\cos\theta|\,|\cos 2\theta|.
Como |\cos\theta|\le1 e |\cos 2\theta|\le1 para todo \theta, segue que
\left| \frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \right| \le r.
Mas r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} tende a 0 quando (x,y)\to(0,0). Pelo princípio do confronto (squeeze theorem), como o lado esquerdo está em módulo limitado por r e r\to0, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 0.
Observação intuitiva: mesmo que \cos\theta\cos2\theta dependa do ângulo, ele é sempre limitado em módulo por 1, e o fator r força o produto a zero. Logo o limite existe e é 0.

Passo 6

Verificação por caminhos simples (para ganhar confiança): se tomarmos a reta y=kx (com k fixo), então
\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x^{3}-x(kx)^{2}}{x^{2}+(kx)^{2}} = \frac{x^{3}-k^{2}x^{3}}{x^{2}(1+k^{2})} = x\cdot\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}},
que tende a 0 quando x\to0. Isso bate com a conclusão anterior e mostra que vários caminhos comuns dão 0 também.

Resposta

0

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