Sendo X \sim U[0,4], determine:
1.
P(0<X<2)

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0,4], ou seja X\sim U[0,4]. A pergunta é apenas uma:
\text{Calcular }P(0<X<2).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
X\sim U[0,4].
Esse é todo o dado — agora vamos resolver.

Passo 2

O que significa X\sim U[0,4]\)? Vou explicar devagarinho. A distribuição uniforme contínua no intervalo \([a,b]\) tem densidade de probabilidade constante sobre esse intervalo. Em termos de função densidade \(f_X(x)\), isso quer dizer: \[f_X(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \text{se }a\le x\le b,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Aqui temos a=0\] e \(b=4. Então a densidade é constante igual a \frac{1}{4} para x entre 0 e 4.]

Passo 3

Explico por que a densidade é \frac{1}{4}. A densidade precisa integrar 1 sobre todo o suporte (pra ser uma distribuição válida). Para uma função constante c em [0,4] temos
\int_{0}^{4} c\,dx = c\cdot(4-0)=1,
logo c=\frac{1}{4}. Portanto
f_X(x)=\frac{1}{4}\quad\text{para }0\le x\le4.

Passo 4

Agora, para uma variável contínua, a probabilidade de um intervalo é a integral da densidade nesse intervalo. Então
P(0<X<2)=\int_{0}^{2} f_X(x)\,dx.
Substituindo f_X(x)=\tfrac{1}{4} obtemos a integral de uma constante.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo:
P(0<X<2)=\int_{0}^{2}\frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\cdot(2-0)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Interpretação intuitiva (sem integral): como a densidade é uniforme, a probabilidade é simplesmente a razão entre o comprimento do intervalo pedido e o comprimento total do suporte. O comprimento de (0,2) é 2 e o comprimento de [0,4] é 4, logo 2/4=1/2.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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