Determine a função densidade de probabilidade para cada uma das seguintes funções acumuladas de probabilidade.
Passo 1
Você me deu a função distribuição acumulada
O que o problema pede: determinar a função densidade de probabilidade
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é dada por trechos lineares em e e constantes fora desses intervalos. - Os pontos de fronteira entre trechos são
, e . - Preciso checar se há saltos em
nesses pontos (que dariam massas pontuais) e obter a densidade quando for diferenciável.]
Passo 2
Conceito chave (aula rápida e prática): quando uma variável aleatória tem função distribuição
,
- a parte absolutamente contínua de
tem densidade dada por
sempre que a derivada existir (ou seja, em pontos onde
é diferenciável). Aqui
significa a derivada de
em relação a
.
- além disso, se
tem um salto em , isto é, , existe uma massa pontual . Em termos de densidade isso corresponde a um termo do tipo massa de Dirac em ; mas na maioria das questões de cálculo elementar só precisamos identificar se há salto (massa pontual) ou não.
Vou aplicar essas duas ideias: (i) derivar os trechos lineares para obternos intervalos e (ii) verificar saltos em .
Passo 3
Derivando os trechos lineares (regra: a derivada de
é
):
- Para
temos . Logo
- Para
temos . Logo
- Para
e para a função é constante, então a derivada é nesses intervalos:
Assim, a candidata para a densidade é uma função peça‑por‑peça constante:
fora de
,
em
e
em
. (Os valores em pontos isolados não alteram probabilidades, pois são conjuntos de medida zero.)
Passo 4
Verificação de saltos (para ver se há massas pontuais):
- Em
:
(pela definição para ) e . Salto . - Em
:
.
. Salto . - Em
:
e . Salto .
Conclusão: não há saltos em, portanto não há massas pontuais — toda a probabilidade está na parte absolutamente contínua, dada por onde existe.
Passo 5
Checagem de normalização (confiança extra): a integral da densidade candidata deve dar
.
Calculemos
Calculemos
Calcule cada termo:
Somando:
. Perfeito — a função está normalizada.
Passo 6
Conclusão didática final: a densidade
é a derivada de
nas partes contínuas e não há termos pontuais. Podemos escrever
de forma peça‑por‑peça (observação: o valor em pontos isolados não importa; aqui uso intervalos abertos para os trechos internos).