Determine a função densidade de probabilidade para cada uma das seguintes funções acumuladas de probabilidade.
F(x)=\{\begin{array}{cr}0, & x<-2, \\0,25 x+0,5, & -2 \leqslant x<1, \\0,5 x+0,25, & 1 \leqslant x<1,5, \\1, & x \geqslant 1,5 .\end{array}\}\

Passo 1

Você me deu a função distribuição acumulada F\) definida por \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<-2,\\[4pt] 0,25\,x+0,5, & -2\le x<1,\\[4pt] 0,5\,x+0,25, & 1\le x<1,5,\\[4pt] 1, & x\ge 1,5. \end{cases}
O que o problema pede: determinar a função densidade de probabilidade f(x)\] associada a essa \(F(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • F é dada por trechos lineares em [-2,1) e [1,1,5) e constantes fora desses intervalos.
  • Os pontos de fronteira entre trechos são x=-2, x=1 e x=1,5.
  • Preciso checar se há saltos em F nesses pontos (que dariam massas pontuais) e obter a densidade quando F for diferenciável.]

Passo 2

Conceito chave (aula rápida e prática): quando uma variável aleatória tem função distribuição F,
  • a parte absolutamente contínua de F tem densidade f dada por
f(x)=F'(x)
sempre que a derivada existir (ou seja, em pontos onde F é diferenciável). Aqui F'(x) significa a derivada de F em relação a x.
  • além disso, se F tem um salto em a, isto é, F(a)-F(a^-)>0, existe uma massa pontual P(X=a)=F(a)-F(a^-). Em termos de densidade isso corresponde a um termo do tipo massa de Dirac em a; mas na maioria das questões de cálculo elementar só precisamos identificar se há salto (massa pontual) ou não.
    Vou aplicar essas duas ideias: (i) derivar os trechos lineares para obter f nos intervalos e (ii) verificar saltos em -2,1,1,5.

Passo 3

Derivando os trechos lineares (regra: a derivada de ax+b é a):
  • Para -2<x<1 temos F(x)=0,25\,x+0,5. Logo
F'(x)=0,25.
  • Para 1<x<1,5 temos F(x)=0,5\,x+0,25. Logo
F'(x)=0,5.
  • Para x<-2 e para x>1,5 a função F é constante, então a derivada é 0 nesses intervalos:
F'(x)=0\quad\text{para }x<-2\text{ e para }x>1,5.
Assim, a candidata para a densidade é uma função peça‑por‑peça constante: 0 fora de [-2,1,5], 0,25 em (-2,1) e 0,5 em (1,1,5). (Os valores em pontos isolados não alteram probabilidades, pois são conjuntos de medida zero.)

Passo 4

Verificação de saltos (para ver se há massas pontuais):
  • Em x=-2:
    \displaystyle F(-2^-)=0 (pela definição para x<-2) e F(-2)=0,25(-2)+0,5=0. Salto =0.
  • Em x=1:
    \displaystyle F(1^-)=\lim_{x\to1^-}0,25x+0,5=0,25\cdot1+0,5=0,75.
    \displaystyle F(1)=0,5\cdot1+0,25=0,75. Salto =0.
  • Em x=1,5:
    \displaystyle F(1,5^-)=0,5\cdot1,5+0,25=0,75+0,25=1 e F(1,5)=1. Salto =0.
    Conclusão: não há saltos em F, portanto não há massas pontuais — toda a probabilidade está na parte absolutamente contínua, dada por F'(x) onde existe.

Passo 5

Checagem de normalização (confiança extra): a integral da densidade candidata deve dar 1.
Calculemos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{-2}^{1}0,25\,dx+\int_{1}^{1,5}0,5\,dx.
Calcule cada termo:
\int_{-2}^{1}0,25\,dx=0,25\cdot(1-(-2))=0,25\cdot 3=0,75,
\int_{1}^{1,5}0,5\,dx=0,5\cdot(1,5-1)=0,5\cdot 0,5=0,25.
Somando: 0,75+0,25=1. Perfeito — a função está normalizada.

Passo 6

Conclusão didática final: a densidade f(x) é a derivada de F nas partes contínuas e não há termos pontuais. Podemos escrever f(x) de forma peça‑por‑peça (observação: o valor em pontos isolados não importa; aqui uso intervalos abertos para os trechos internos).

Resposta

f(x)=\begin{cases} 0, & x<-2,\\[4pt] 0,25, & -2<x<1,\\[4pt] 0,5, & 1<x<1,5,\\[4pt] 0, & x>1,5. \end{cases}]

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