Sendo
uma variável seguindo o modelo binomial com parâmetros
e
, calcule:
(e)
e
(e)
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória binomial com parâmetros
e
. Pede para calcular
. As informações relevantes são:
-
. -
. - A probabilidade pedida é
.
Note que o eventoé o mesmo que , ou seja .
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula básica que precisamos usar (e entender cada parte dela). Se
binomial
, então a probabilidade de exatamente
sucessos é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é o coeficiente binomial, lê-se “n escolhe k”, e conta de quantas maneiras posso escolher sucessos entre tentativas. -
é a probabilidade de ocorrerem esses sucessos (cada sucesso com probabilidade ). -
é a probabilidade das falhas restantes (cada falha com probabilidade ).
A fórmula junta a contagem de arranjos com a probabilidade de cada arranjo.
Passo 3
Como vimos no Passo 1, queremos
Usando a fórmula do passo anterior com
e
(então
), temos
Passo 4
Calcular os coeficientes binomiais. Vamos ordenar passo a passo:
Passo 5
Calcular as potências necessárias. Primeiro
e
:
Agora
e
. Podemos usar
como passo intermediário:
Passo 6
Calcular
passo a passo. Substituindo valores:
Primeiro fazemos
. Uma forma precisa é multiplicar e manter casas:
Agora multiplicamos por
:
Portanto
Passo 7
Calcular
. Substituindo:
Primeiro
.
Multiplicando por :
Multiplicando por
Portanto
Passo 8
Somamos as duas probabilidades para obter a resposta pedida:
Arredondando para quatro casas decimais (prática comum em provas), temos
. Você pode usar a versão com mais casas se quiser maior precisão.