Sendo X uma variável seguindo o modelo binomial com parâmetros n=15 e p=0,4, calcule:
(e) P(X>3 e X<6)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória binomial com parâmetros n=15 e p=0,4. Pede para calcular P(X>3\\ \text{e}\\ X<6). As informações relevantes são:
  • n=15.
  • p=0,4.
  • A probabilidade pedida é P(X>3\\ \text{e}\\ X<6).
    Note que o evento \{X>3\\ \text{e}\\ X<6\} é o mesmo que \{X=4\\ \text{ou}\\ X=5\}, ou seja X\in\{4,5\}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula básica que precisamos usar (e entender cada parte dela). Se X\sim binomial (n,p), então a probabilidade de exatamente k sucessos é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada símbolo:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, lê-se “n escolhe k”, e conta de quantas maneiras posso escolher k sucessos entre n tentativas.
  • p^{k} é a probabilidade de ocorrerem esses k sucessos (cada sucesso com probabilidade p).
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade das n-k falhas restantes (cada falha com probabilidade 1-p).
    A fórmula junta a contagem de arranjos com a probabilidade de cada arranjo.

Passo 3

Como vimos no Passo 1, queremos
P(4\le X\le 5)=P(X=4)+P(X=5).
Usando a fórmula do passo anterior com n=15 e p=0,4 (então 1-p=0,6), temos
P(X=4)=\binom{15}{4}\,0,4^{4}\,0,6^{11},
P(X=5)=\binom{15}{5}\,0,4^{5}\,0,6^{10}.

Passo 4

Calcular os coeficientes binomiais. Vamos ordenar passo a passo:
\binom{15}{4}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{32760}{24}=1365.
\binom{15}{5}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{360360}{120}=3003.

Passo 5

Calcular as potências necessárias. Primeiro 0,4^{4} e 0,4^{5}:
0,4^{2}=0,16,\qquad 0,4^{4}=(0,4^{2})^{2}=0,16^{2}=0,0256,
0,4^{5}=0,4^{4}\cdot0,4=0,0256\cdot0,4=0,01024.
Agora 0,6^{10} e 0,6^{11}. Podemos usar 0,6^{5} como passo intermediário:
0,6^{2}=0,36,\qquad 0,6^{4}=0,36^{2}=0,1296,
0,6^{5}=0,6^{4}\cdot0,6=0,1296\cdot0,6=0,07776.
0,6^{10}=(0,6^{5})^{2}=0,07776^{2}=0,0060466176,
0,6^{11}=0,6^{10}\cdot0,6=0,0060466176\cdot0,6=0,00362797056.

Passo 6

Calcular P(X=4) passo a passo. Substituindo valores:
P(X=4)=1365\cdot0,0256\cdot0,00362797056.
Primeiro fazemos 0,0256\cdot0,00362797056. Uma forma precisa é multiplicar e manter casas:
0,0256\cdot0,00362797056=0,000092876046336.
Agora multiplicamos por 1365:
1365\cdot0,000092876046336=0,12677580324864.
Portanto
P(X=4)\approx0,12677580324864.

Passo 7

Calcular P(X=5). Substituindo:
P(X=5)=3003\cdot0,01024\cdot0,0060466176.
Primeiro 0,01024\cdot0,0060466176=0,000061917364224.
Multiplicando por 3003:
3003\cdot0,000061917364224=0,185937844764672.
Portanto
P(X=5)\approx0,185937844764672.

Passo 8

Somamos as duas probabilidades para obter a resposta pedida:
P(4\le X\le5)=P(X=4)+P(X=5)=0,12677580324864+0,185937844764672=0,312713648013312.
Arredondando para quatro casas decimais (prática comum em provas), temos 0,3127. Você pode usar a versão com mais casas se quiser maior precisão.

Resposta

0,312713648013312

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