A vida média de baterias de uma certa marca é de 920 horas, com desvio padrão de 55 horas. O tempo de duração das baterias apresenta distribuição normal. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 20 baterias acusar vida média:
mais de 940 horas. Obs.: Desenhe as curvas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
Vida média (populacional): \mu = 920 horas.
Desvio padrão (populacional): \sigma = 55 horas.
Tamanho da amostra: n = 20.
Distribuição do tempo de duração das baterias: normal.
Pergunta: determinar a probabilidade de que uma amostra aleatória de 20 baterias apresente vida média mais de 940 horas, ou seja, calcular \mathbb{P}\big(\overline{X} > 940\big).
Passo 2
Conceito importante (explicadinho): quando temos amostras de tamanho n retiradas de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a distribuição da média amostral \overline{X} tem média igual à média populacional e desvio padrão reduzido — chamado erro padrão. A fórmula do erro padrão é
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando tabela da normal padrão (valores para \Phi) e interpolação entre 1{,}62 e 1{,}63:
Como desenhar as curvas (passo a passo para a prova, descrevo pra você rabiscar no papel):
Desenhe duas curvas em formato de sino, ambas centradas em 920.
A curva mais larga representa a distribuição da observação individual X\sim N(920,55). Marque a média em 920 e um ponto em 940 à direita.
A curva mais estreita (mais “pontuda”) representa a distribuição da média amostral \overline{X}\sim N\big(920,12{,}2984\big). Ela também é centrada em 920 mas tem menor dispersão.
Sombreie, sob a curva da média amostral, a região à direita de 940. Essa área sombreada é a probabilidade que calculamos (\approx 0{,}0520).
Para relacionar com a normal padrão, trace também uma pequena curva da normal padrão e marque o ponto z=1{,}626; sombreie a cauda à direita desse ponto — será a mesma área.
Dica motivadora: fica mais claro no desenho porque a curva da média é bem mais estreita — então uma média de 940 é relativamente rara (cerca de 5\%) para n=20.