A vida média de baterias de uma certa marca é de 920 horas, com desvio padrão de 55 horas. O tempo de duração das baterias apresenta distribuição normal. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 20 baterias acusar vida média:
mais de 940 horas. Obs.: Desenhe as curvas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Vida média (populacional): \mu = 920 horas.
  • Desvio padrão (populacional): \sigma = 55 horas.
  • Tamanho da amostra: n = 20.
  • Distribuição do tempo de duração das baterias: normal.
  • Pergunta: determinar a probabilidade de que uma amostra aleatória de 20 baterias apresente vida média mais de 940 horas, ou seja, calcular \mathbb{P}\big(\overline{X} > 940\big).

Passo 2

Conceito importante (explicadinho): quando temos amostras de tamanho n retiradas de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a distribuição da média amostral \overline{X} tem média igual à média populacional e desvio padrão reduzido — chamado erro padrão. A fórmula do erro padrão é
\text{erro padrão} = \sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.ã
Aqui:
  • \sigma é o desvio padrão da população (a “variabilidade” de uma bateria).
  • n é o número de observações na amostra.
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada de n.
Essa redução faz sentido: médias de amostras tendem a variar menos do que observações individuais.

Passo 3

Como a população é normal, a distribuição exata da média amostral é normal com parâmetros
\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\; \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Substituindo os valores fornecidos:
\mu_{\overline{X}} = 920, \qquad \sigma_{\overline{X}} = \frac{55}{\sqrt{20}}.
Calculemos \sqrt{20} e o erro padrão passo a passo:
\sqrt{20}\approx 4{,}4721,
\sigma_{\overline{X}} = \frac{55}{4{,}4721}\approx 12{,}2984.

Passo 4

Para achar \mathbb{P}\big(\overline{X}>940\big) vamos padronizar (transformar em Z, a normal padrão). A fórmula de padronização é
Z=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}.
Aplicando para \overline{X}=940:
z=\frac{940-920}{12{,}2984}=\frac{20}{12{,}2984}\approx 1{,}626.
Interpretando: 940 horas está cerca de 1{,}626 desvios padrões acima da média da distribuição da média amostral.

Passo 5

A probabilidade pedida é a cauda direita da normal padrão:
\mathbb{P}\big(\overline{X}>940\big)=\mathbb{P}(Z>1{,}626)=1-\Phi(1{,}626),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando tabela da normal padrão (valores para \Phi) e interpolação entre 1{,}62 e 1{,}63:
\Phi(1{,}62)\approx 0{,}9474,\qquad \Phi(1{,}63)\approx 0{,}9484.
Interpolando para 1{,}626 obtemos aproximadamente \Phi(1{,}626)\approx 0{,}9480. Então
\mathbb{P}\big(\overline{X}>940\big)\approx 1-0{,}9480=0{,}0520.
Em porcentagem isso é cerca de 5{,}20\%.

Passo 6

Como desenhar as curvas (passo a passo para a prova, descrevo pra você rabiscar no papel):
  • Desenhe duas curvas em formato de sino, ambas centradas em 920.
  • A curva mais larga representa a distribuição da observação individual X\sim N(920,55). Marque a média em 920 e um ponto em 940 à direita.
  • A curva mais estreita (mais “pontuda”) representa a distribuição da média amostral \overline{X}\sim N\big(920,12{,}2984\big). Ela também é centrada em 920 mas tem menor dispersão.
  • Sombreie, sob a curva da média amostral, a região à direita de 940. Essa área sombreada é a probabilidade que calculamos ( \approx 0{,}0520).
  • Para relacionar com a normal padrão, trace também uma pequena curva da normal padrão e marque o ponto z=1{,}626; sombreie a cauda à direita desse ponto — será a mesma área.
Dica motivadora: fica mais claro no desenho porque a curva da média é bem mais estreita — então uma média de 940 é relativamente rara (cerca de 5\%) para n=20.

Resposta

\mathbb{P}\big(\overline{X}>940\big)\approx 0{,}0520\approx 5{,}20\%

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