Sendo
uma variável seguindo o modelo binomial com parâmetros
e
, calcule:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado diz que
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A pergunta é calcular a probabilidade
Informações dadas:
O que é pedido: encontrar o valor numérico de
.
Passo 2
O que significa trabalhar com a distribuição binomial? Vou explicar direitinho. Se
, então a probabilidade de exatamente
sucessos em
ensaios independentes é dada por
onde
é o número de maneiras de escolher quais
ensaios deram sucesso entre os
(o chamado “coeficiente binomial”). Explico os termos:
-
conta as combinações, é um número inteiro; -
é a probabilidade de ter sucesso vezes; -
é a probabilidade de ter fracasso nas vezes restantes.
Passo 3
Vamos simplificar o evento pedido. A condição
quer dizer que
é maior que
e menor ou igual a
. Como
só assume valores inteiros, isso equivale a
Portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula da binomial para cada termo, temos
onde eu já substituí
,
e
.
Passo 5
Calculemos os coeficientes binomiais. Usamos a simetria
e
.
Logo
Passo 6
Agora calculamos as potências necessárias passo a passo (faço as contas explicando cada potência):
Esses valores vêm de multiplicações sucessivas: por exemplo
,
, e assim por diante até
.
Passo 7
Calculamos
. Primeiro o produto das potências:
Multiplicando pelo coeficiente binomial:
Passo 8
Calculamos
. Primeiro o produto das potências:
Multiplicando pelo coeficiente binomial:
Passo 9
Somamos as duas probabilidades para obter o pedido:
Arredondando razoavelmente (por exemplo, 4 casas decimais) obtemos
.