Sendo X uma variável seguindo o modelo binomial com parâmetros n=15 e p=0,4, calcule:
(b) P(8<X \leq 10)

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=15 e p=0,4. A pergunta é calcular a probabilidade
P(8<X\leq 10).
Informações dadas:
n=15,\quad p=0,4,\quad q=1-p=0,6.
O que é pedido: encontrar o valor numérico de P(8<X\leq 10).

Passo 2

O que significa trabalhar com a distribuição binomial? Vou explicar direitinho. Se X\sim\mathrm{Bin}(n,p), então a probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios independentes é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios deram sucesso entre os n (o chamado “coeficiente binomial”). Explico os termos:
  • \binom{n}{k} conta as combinações, é um número inteiro;
  • p^{k} é a probabilidade de ter sucesso k vezes;
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade de ter fracasso nas n-k vezes restantes.

Passo 3

Vamos simplificar o evento pedido. A condição 8<X\leq 10 quer dizer que X é maior que 8 e menor ou igual a 10. Como X só assume valores inteiros, isso equivale a
8<X\leq 10 \quad\Longleftrightarrow\quad X=9\\ \text{ou}\\ X=10.
Portanto
P(8<X\leq 10)=P(X=9)+P(X=10).

Passo 4

Aplicando a fórmula da binomial para cada termo, temos
P(X=9)=\binom{15}{9}\,p^{9}\,q^{6},
P(X=10)=\binom{15}{10}\,p^{10}\,q^{5},
onde eu já substituí n=15, p=0,4 e q=0,6.

Passo 5

Calculemos os coeficientes binomiais. Usamos a simetria \binom{15}{9}=\binom{15}{6} e \binom{15}{10}=\binom{15}{5}.
\binom{15}{6}=5005,\qquad \binom{15}{5}=3003.
Logo
\binom{15}{9}=5005,\qquad \binom{15}{10}=3003.

Passo 6

Agora calculamos as potências necessárias passo a passo (faço as contas explicando cada potência):
p^{9}=(0,4)^{9}=0,000262144,
p^{10}=(0,4)^{10}=0,0001048576,
q^{6}=(0,6)^{6}=0,046656,
q^{5}=(0,6)^{5}=0,07776.
Esses valores vêm de multiplicações sucessivas: por exemplo (0,4)^2=0,16, (0,4)^3=0,064, e assim por diante até (0,4)^9.

Passo 7

Calculamos P(X=9). Primeiro o produto das potências:
(0,4)^{9}\,(0,6)^{6}=0,000262144\cdot 0,046656 \approx 0,000012230590464.
Multiplicando pelo coeficiente binomial:
P(X=9)=5005\cdot 0,000012230590464 \approx 0,06121410527232.

Passo 8

Calculamos P(X=10). Primeiro o produto das potências:
(0,4)^{10}\,(0,6)^{5}=0,0001048576\cdot 0,07776 \approx 0,000008153755088896.
Multiplicando pelo coeficiente binomial:
P(X=10)=3003\cdot 0,000008153755088896 \approx 0,02448572626569.

Passo 9

Somamos as duas probabilidades para obter o pedido:
P(8<X\leq 10)=P(X=9)+P(X=10)\approx 0,06121410527232+0,02448572626569\approx 0,08569983153801.
Arredondando razoavelmente (por exemplo, 4 casas decimais) obtemos 0,0857.

Resposta

0,0857

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