Seja um sistema dado por
, explique se é:
causal;
causal;
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede para explicar se ele é causal. Informação importante a destacar:
- A expressão fornecida não envolve nenhum sinal de entrada
; a saída é dada explicitamente como função do tempo . - A única pergunta é sobre causalidade do sistema.
Passo 2
Definição de causalidade (forma prática e rigorosa).
- Intuitivamente: um sistema é causal se a saída em um instante
não depende de valores futuros do sinal de entrada (ou seja, não “olha para frente” no tempo). - Definição rigorosa: um sistema
é causal se, para quaisquer sinais de entrada e e para qualquer instante ,
onde
é a saída do sistema quando a entrada é
.
- Em palavras mais simples para a prova: verifique se a expressão de
exige conhecer em instantes maiores que (futuros). Se sim, é não-causal; se não, é causal.
Passo 3
Aplicando a definição ao sistema dado. Tome quaisquer duas entradas
e
. Pelas hipóteses do enunciado, as saídas correspondentes são
pois a fórmula de saída não depende de
. Portanto, para qualquer
(em particular para todo
) vale
Logo, a implicação da definição de causalidade é satisfeita para qualquer escolha de
e
.
Passo 4
Interpretação e dica prática para a prova.
- Como
não usa valores futuros de uma entrada (na verdade não usa a entrada nenhuma), não há dependência de “futuro” e, portanto, não há violação da causalidade. - Raciocínio rápido na prova: se a expressão tem termos como
com , é não-causal; se só tem , ou não depende de (como aqui), é causal. - Exemplos para fixar:
-
→ causal (depende só do presente). -
→ não-causal (depende de futuro). -
→ causal (independe do sinal de entrada).
-
Passo 5
Observação extra (não pedida, mas útil): o sistema é independente da entrada, portanto sua saída é completamente determinada pelo tempo; isso o torna trivialmente causal. Também pode-se dizer que, em relação ao sinal de entrada, ele não tem memória (não depende nem do passado nem do presente do input).
Resposta
Causal.