Seja um sistema dado por y(t)=\cos (t)-5, explique se é:
causal;

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y(t)=\cos(t)-5
e pede para explicar se ele é causal. Informação importante a destacar:
  • A expressão fornecida não envolve nenhum sinal de entrada x(t); a saída y(t) é dada explicitamente como função do tempo t.
  • A única pergunta é sobre causalidade do sistema.

Passo 2

Definição de causalidade (forma prática e rigorosa).
  • Intuitivamente: um sistema é causal se a saída em um instante t_0 não depende de valores futuros do sinal de entrada (ou seja, não “olha para frente” no tempo).
  • Definição rigorosa: um sistema S é causal se, para quaisquer sinais de entrada x_1(t) e x_2(t) e para qualquer instante t_0,
\text{se } x_1(t)=x_2(t)\\ \forall t\le t_0 \quad\text{então}\quad y_1(t)=y_2(t)\\ \forall t\le t_0,ã
onde y_i(t) é a saída do sistema quando a entrada é x_i(t).
  • Em palavras mais simples para a prova: verifique se a expressão de y(t) exige conhecer x em instantes maiores que t (futuros). Se sim, é não-causal; se não, é causal.

Passo 3

Aplicando a definição ao sistema dado. Tome quaisquer duas entradas x_1(t) e x_2(t). Pelas hipóteses do enunciado, as saídas correspondentes são
y_1(t)=\cos(t)-5,\qquad y_2(t)=\cos(t)-5,
pois a fórmula de saída não depende de x(t). Portanto, para qualquer t (em particular para todo t\le t_0) vale
y_1(t)=y_2(t).
Logo, a implicação da definição de causalidade é satisfeita para qualquer escolha de x_1 e x_2.

Passo 4

Interpretação e dica prática para a prova.
  • Como y(t) não usa valores futuros de uma entrada (na verdade não usa a entrada nenhuma), não há dependência de “futuro” e, portanto, não há violação da causalidade.
  • Raciocínio rápido na prova: se a expressão tem termos como x(t+\tau) com \tau>0, é não-causal; se só tem x(t), x(t-\tau) ou não depende de x (como aqui), é causal.
  • Exemplos para fixar:
    • y(t)=x(t)+2 → causal (depende só do presente).
    • y(t)=x(t+1) → não-causal (depende de futuro).
    • y(t)=\cos(t)-5 → causal (independe do sinal de entrada).

Passo 5

Observação extra (não pedida, mas útil): o sistema é independente da entrada, portanto sua saída é completamente determinada pelo tempo; isso o torna trivialmente causal. Também pode-se dizer que, em relação ao sinal de entrada, ele não tem memória (não depende nem do passado nem do presente do input).

Resposta

Causal.

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