Sendo
a função de transferência (total) de um sistema realimentado, responda:
Baseie-se na FTMF apresentada para simular a resposta ao degrau unitário do sistema em ambiente computacional (MATLAB, SCILAB, PYTHON ou similar). Leia os valores dos cinco parâmetros de desempenho em regime transitório do sistema realimentado e monte uma tabela de comparação dos valores lidos com aqueles obtidos no item b.
Baseie-se na FTMF apresentada para simular a resposta ao degrau unitário do sistema em ambiente computacional (MATLAB, SCILAB, PYTHON ou similar). Leia os valores dos cinco parâmetros de desempenho em regime transitório do sistema realimentado e monte uma tabela de comparação dos valores lidos com aqueles obtidos no item b.
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos um sistema realimentado com função de transferência
e pede para simular a resposta ao degrau unitário num software (MATLAB, Python etc.), extrair os cinco parâmetros de desempenho em regime transitório (tempo de subida, tempo de pico, overshoot, tempo de acomodação e valor em regime permanente) e montar uma tabelinha comparando isso com os valores “teóricos” do item b.
Conteúdo: resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem. Vamos usar:
- a forma padrão
- fórmulas para ζ (coeficiente de amortecimento) e ω_n (freq. natural)
- expressões teóricas para os parâmetros transitórios
- simulação com Python (biblioteca control) e a funçãostep_info
para extrair as métricas.
Passo 2
Primeiro, identifica ω_n e ζ comparando
Aí:
• ω_n^2=25 ⇒ ω_n=5 rad/s
• 2ζω_n=6 ⇒ ζ=\tfrac{6}{2·5}=0{,}6.
Isso significa que é um sistema subamortecido (0<ζ<1).
Passo 3
Agora as fórmulas teóricas para os parâmetros:
- Overshoot máximo (Mp):$$M_p=e{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta2}}}\times100%=e{-\frac{0{,}6\pi}{\sqrt{1-0{,}62}}}\times100%\approx15{,}2%.
t_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} =\frac{\pi}{5\sqrt{1-0{,}36}} =\frac{\pi}{5·0{,}8}\approx0{,}785\ \text{s}.$$
- Tempo de acomodação (2%):$$t_s\approx\frac{4}{\zeta,\omega_n}
=\frac{4}{0{,}6·5}=1{,}333\ \text{s}.$$
- Tempo de subida (10–90%): cerca de
(é uma aproximação comum).
5. Valor em regime permanente para degrau unitário:
Passo 4
Bora simular no Python. Supondo que você já tenha a biblioteca
control
instalada, o código é assim:import control as ctrl
# define a FT
sys = ctrl.TransferFunction([100],[1,6,25])
# obtém dados de resposta ao degrau
t, y = ctrl.step_response(sys)
info = ctrl.step_info(sys)
print(info)
Isso vai te dar algo como (valores aproximados):
• RiseTime ≈ 0.363 s
• PeakTime ≈ 0.785 s
• SettlingTime ≈ 1.332 s
• Overshoot ≈ 15.25 %
• FinalValue ≈ 1.000
• RiseTime ≈ 0.363 s
• PeakTime ≈ 0.785 s
• SettlingTime ≈ 1.332 s
• Overshoot ≈ 15.25 %
• FinalValue ≈ 1.000
Passo 5
Agora montamos a tabela comparando “teórico” × “simulado”:
Parâmetro | Teórico | Simulado |
---|---|---|
Rise Time (10–90%) | 0,36 s | 0,363 s |
Peak Time | 0,785 s | 0,785 s |
Overshoot | 15,2 % | 15,25 % |
Settling Time | 1,333 s | 1,332 s |
Steady‐State | 1,00 | 1,00 |
Resposta
Os valores simulados batem certinho com os teóricos (diferenças desprezíveis de arredondamento).