Sendo Y \sim U(0 ; 4), calcule:
P(1<Y<2 \mid Y<3).

Passo 1

O enunciado dá que Y\sim U(0,4) (ou seja, Y é uniformemente distribuída no intervalo [0,4]) e pede a probabilidade condicional
P(1<Y<2 \mid Y<3).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável aleatória Y tem suporte [0,4].
  • A densidade de Y é constante dentro de [0,4].
  • O evento cuja condição é dada é B=\{Y<3\}.
  • O evento cujo probabilidades condicionais queremos é A=\{1<Y<2\}.

Passo 2

Vamos usar a definição de probabilidade condicional para eventos A e B com P(B)>0:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Explicando isso de forma simples: a probabilidade de A dado que B ocorreu é a fração da probabilidade total de B que também pertence a A. Antes de aplicar, precisamos calcular P(B) e P(A\cap B).

Passo 3

Explico a densidade da distribuição uniforme. Se Y\sim U(0,4), a densidade de probabilidade é constante no intervalo [0,4] e igual a
f_Y(y)=\frac{1}{4}\quad\text{para }0\le y\le 4,
e f_Y(y)=0 fora desse intervalo. Isso significa que a probabilidade de um subintervalo é simplesmente a sua extensão (comprimento) multiplicada por 1/4.
Calculemos P(B)=P(Y<3). Como Y é contínua, P(Y<3)=P(0\le Y<3) (pois fora de [0,4] a densidade é zero). Usando a densidade:
P(Y<3)=\int_{0}^{3} f_Y(y)\,dy=\int_{0}^{3}\frac{1}{4}\,dy=\frac{1}{4}\cdot(3-0)=\frac{3}{4}.

Passo 4

Agora calcule P(A\cap B). Note que A=\{1<Y<2\} está contido em B=\{Y<3\}, logo A\cap B=A. Assim:
P(A\cap B)=P(1<Y<2)=\int_{1}^{2} f_Y(y)\,dy=\int_{1}^{2}\frac{1}{4}\,dy=\frac{1}{4}\cdot(2-1)=\frac{1}{4}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
P(1<Y<2\mid Y<3)=\frac{P(1<Y<2\text{ e }Y<3)}{P(Y<3)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Interpretação intuitiva (útil pra prova): dado que Y<3, estamos restringindo o universo ao intervalo [0,3]. Condicionalmente, Y é uniforme em [0,3] (densidade \tfrac{1}{3} ali), e a probabilidade de cair em (1,2) é simplesmente o comprimento de (1,2) dividido pelo comprimento de (0,3), isto é \tfrac{1}{1+2}=\tfrac{1}{3}. Essa é uma forma rápida de raciocinar sem integrar.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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