Sendo
, calcule:
.
Passo 1
O enunciado dá que
(ou seja,
é uniformemente distribuída no intervalo
) e pede a probabilidade condicional
Informações relevantes fornecidas:
- A variável aleatória
tem suporte . - A densidade de
é constante dentro de . - O evento cuja condição é dada é
. - O evento cujo probabilidades condicionais queremos é
.
Passo 2
Vamos usar a definição de probabilidade condicional para eventos
e
com
:
Explicando isso de forma simples: a probabilidade de
dado que
ocorreu é a fração da probabilidade total de
que também pertence a
. Antes de aplicar, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Explico a densidade da distribuição uniforme. Se
, a densidade de probabilidade é constante no intervalo
e igual a
e
fora desse intervalo. Isso significa que a probabilidade de um subintervalo é simplesmente a sua extensão (comprimento) multiplicada por
.
Calculemos
. Como
é contínua,
(pois fora de
a densidade é zero). Usando a densidade:
Passo 4
Agora calcule
. Note que
está contido em
, logo
. Assim:
Passo 5
Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
Passo 6
Interpretação intuitiva (útil pra prova): dado que
, estamos restringindo o universo ao intervalo
. Condicionalmente,
é uniforme em
(densidade
ali), e a probabilidade de cair em
é simplesmente o comprimento de
dividido pelo comprimento de
, isto é
. Essa é uma forma rápida de raciocinar sem integrar.