Resolver as E.D.O.s abaixo:
(x^2-y) d x-(x+y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO (x^2 - y),dx - (x + y^2),dy = 0. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas, e vamos precisar verificar se a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial phi(x,y) tal que phix = M e phiy = N.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = x^2 - y e N(x,y) = -(x + y^2). Calculamos
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = -1
Como são iguais, a equação diferencial é exata.

Passo 3

Integrando M em relação a x, obtemos
phi(x,y) = integral (x^2 - y),dx = x^33 - xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivando phi em relação a y e igualando a N, temos
phiy = -x + h'(y) e N = -(x + y^2)
Igualando:
-x + h'(y) = -(x + y^2) Longrightarrow h'(y) = -y^2 Longrightarrow h(y) = -y^33

Passo 5

Assim, a função potencial é
phi(x,y) = x^33 - xy - y^33
A solução geral implícita da EDO é dada por phi(x,y) = C. Multiplicando por 3 para simplificar, fica
x^3 - 3xy - y^3 = C

Resposta

x^3 - 3xy - y^3 = C

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