Resolver as E.D.O.s abaixo:
dotx=4+230-t x

Passo 1

O enunciado quer resolver a equação diferencial de primeira ordem dot x = 4 + 230 - t,x. Isso é um caso de E.D.O. linear de 1ª ordem, então a gente vai usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos pôr a E.D.O. na forma padrão dot x + P(t),x = Q(t). Subtraindo 230 - tx dos dois lados, fica:
dot x - 230 - t,x = 4
Aqui identificamos P(t) = -230 - t e Q(t)=4.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t)=e^integral P(t),dt=e^-2integral130-tdt. Fazendo a substituição u=30-t (logo du=-dt), obtemos
mu(t)=e^-2(-ln|30-t|)=e^2ln|30-t|=(30-t)^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(t)=(30-t)^2. O lado esquerdo vira derivada do produto mu x:
ddtl[(30-t)^2xr]=(30-t)^2dot x-2(30-t)x
Logo a E.D.O. multiplicada fica
ddtl[(30-t)^2xr]=4(30-t)^2

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
(30-t)^2x=integral4(30-t)^2dt + C
Fazendo u=30-t de novo, dt=-du, obtemos
integral4u^2(-du)=-tfrac43u^3=-tfrac43(30-t)^3
Então
(30-t)^2x=-tfrac43(30-t)^3 + C

Passo 6

Finalmente, dividimos por (30-t)^2 para isolar x e simplificar:
x(t)=-tfrac43(30-t)+C(30-t)^2 = tfrac43(t-30)+C(30-t)^2
Esse é o resultado geral da E.D.O.

Resposta

x(t)=tfrac43(t-30)+dfracC(30-t)^2, onde C é constante de integração.

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