- O senhor João, do interior do Piauí, como bom nordestino tem o hábito de dar vários nomes a seus filhos. Ele então listou
nomes como sugestão para dar ao filho recém-nascido. A expressão matemática que melhor modela a quantidade de maneiras para que o filho de João possa receber no máximo três nomes é
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O senhor João listou
nomes como sugestão. - O filho pode receber, no máximo, três nomes (ou seja: pode receber 1, 2 ou 3 nomes).
A pergunta é: qual expressão modela a quantidade de maneiras de escolher esses nomes a partir dassugestões? (a resposta deve ser uma das alternativas fornecidas.)
Passo 2
Primeira decisão importante (explicada de forma direta e amigável): assumir que os nomes são todos distintos e que a ordem importa. Por quê? Em nomes próprios a posição é relevante: primeiro nome, segundo nome (ou nome do meio), terceiro nome. Além disso, não faria sentido dar o mesmo nome repetido duas vezes (normalmente não se repete). Então vamos contar sequências sem repetição, onde cada posição tem escolhas reduzidas conforme já foram ocupadas. Esse é o método mais natural e simples aqui (princípio fundamental da contagem).
Passo 3
Contagem para exatamente um nome: para o primeiro (único) nome há
possibilidades, pois qualquer um dos
nomes pode ser escolhido. Logo o número de formas com exatamente um nome é
Passo 4
Contagem para exatamente dois nomes: para o primeiro nome há
escolhas; para o segundo, não se pode repetir o primeiro, então restam
escolhas. Pelo princípio multiplicativo (multiplicar o número de escolhas de cada etapa), o total é
Expliquei: primeiro escolhe-se o primeiro nome (k opções) e em seguida o segundo (k-1 opções).
Passo 5
Contagem para exatamente três nomes: de modo análogo, as escolhas para as três posições são
. Multiplicando:
Passo 6
Totalizando “no máximo três nomes” (ou seja, somando os casos de 1, 2 e 3 nomes):
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro note que
Portanto
Expandindo o produto cúbico:
Somando com
:
Passo 7
Verificação rápida com um valor pequeno para ganhar confiança: se
, então contagens separadas são
(um nome)
(dois nomes)
(três nomes), total
. A fórmula dá
. Confere.
Resposta
d)