1. O senhor João, do interior do Piauí, como bom nordestino tem o hábito de dar vários nomes a seus filhos. Ele então listou \boldsymbol{k} nomes como sugestão para dar ao filho recém-nascido. A expressão matemática que melhor modela a quantidade de maneiras para que o filho de João possa receber no máximo três nomes é
    a) k^{4}-2 k^{3}+k.
    b) k^{4}-3 k^{3}+2 k.
    c) k^{3}-3 k^{2}+3 k.
    d) k^{3}-2 k^{2}+2 k.
    e) k^{3}+2 k^{2}-2 k

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O senhor João listou k nomes como sugestão.
  • O filho pode receber, no máximo, três nomes (ou seja: pode receber 1, 2 ou 3 nomes).
    A pergunta é: qual expressão modela a quantidade de maneiras de escolher esses nomes a partir das k sugestões? (a resposta deve ser uma das alternativas fornecidas.)

Passo 2

Primeira decisão importante (explicada de forma direta e amigável): assumir que os nomes são todos distintos e que a ordem importa. Por quê? Em nomes próprios a posição é relevante: primeiro nome, segundo nome (ou nome do meio), terceiro nome. Além disso, não faria sentido dar o mesmo nome repetido duas vezes (normalmente não se repete). Então vamos contar sequências sem repetição, onde cada posição tem escolhas reduzidas conforme já foram ocupadas. Esse é o método mais natural e simples aqui (princípio fundamental da contagem).

Passo 3

Contagem para exatamente um nome: para o primeiro (único) nome há \,k\, possibilidades, pois qualquer um dos k nomes pode ser escolhido. Logo o número de formas com exatamente um nome é
\text{(1 nome)} = k.

Passo 4

Contagem para exatamente dois nomes: para o primeiro nome há \,k\, escolhas; para o segundo, não se pode repetir o primeiro, então restam \,k-1\, escolhas. Pelo princípio multiplicativo (multiplicar o número de escolhas de cada etapa), o total é
\text{(2 nomes)} = k\cdot (k-1).
Expliquei: primeiro escolhe-se o primeiro nome (k opções) e em seguida o segundo (k-1 opções).

Passo 5

Contagem para exatamente três nomes: de modo análogo, as escolhas para as três posições são \,k,\;k-1,\;k-2\,. Multiplicando:
\text{(3 nomes)} = k\cdot (k-1)\cdot (k-2).

Passo 6

Totalizando “no máximo três nomes” (ou seja, somando os casos de 1, 2 e 3 nomes):
\text{Total} = k + k(k-1) + k(k-1)(k-2).
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro note que
k + k(k-1) = k + (k^2-k) = k^2.
Portanto
\text{Total} = k^2 + k(k-1)(k-2).
Expandindo o produto cúbico:
k(k-1)(k-2) = k\bigl(k^2-3k+2\bigr) = k^3-3k^2+2k.
Somando com k^2:
\text{Total} = k^2 + (k^3-3k^2+2k) = k^3-2k^2+2k.

Passo 7

Verificação rápida com um valor pequeno para ganhar confiança: se k=3, então contagens separadas são 3 (um nome) +\;3\cdot2=6 (dois nomes) +\;3\cdot2\cdot1=6 (três nomes), total 15. A fórmula dá \,3^3-2\cdot3^2+2\cdot3=27-18+6=15. Confere.

Resposta

d) k^{3}-2 k^{2}+2 k

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