Uma senhora faz chá gelado misturando 500 g de chá quente (que se comporta como água pura) a temperatura de ebulição ( 100^{\circ} \mathrm{C} ) com a mesma massa de gelo ( 500 g ) no ponto de fusão \left(0^{\circ} \mathrm{C}\right). Suponha que a mistura ocorra em um recipiente isolado, de forma que a troca de calor com o ambiente é desprezível. (a) Se a temperatura inicial do chá é T_{i}=100^{\circ} \mathrm{C}, qual a temperatura final da mistura T_{f}? (b) Se a temperatura inicial do chá é T_{i}=70^{\circ} \mathrm{C}, quais serão o estado final e a temperatura da mistura?

Passo 1

O enunciado descreve duas situações em que uma massa de chá quente é misturada com a mesma massa de gelo, num recipiente isolado (sem troca de calor com o ambiente). As perguntas são:
  • (a) Quando a temperatura inicial do chá é T_i = 100^\circ\mathrm{C}, qual é a temperatura final T_f da mistura?
  • (b) Quando a temperatura inicial do chá é T_i = 70^\circ\mathrm{C}, qual será o estado final (ou seja: todo o gelo derreteu ou ainda há gelo?) e qual a temperatura final da mistura?
Informações dadas (que vamos usar):
m_{\text{chá}} = 500\\ \mathrm{g} = 0,5\\ \mathrm{kg}, \qquad m_{\text{gelo}} = 500\\ \mathrm{g} = 0,5\\ \mathrm{kg},á
T_{\text{gelo, inicial}} = 0^\circ\mathrm{C}, \qquad \text{recipiente isolado (energia total conservada).}

Passo 2

Conceitos físicos essenciais (explicação didática e fórmulas):
  • Calor sensível: Quando uma substância muda de temperatura sem mudar de fase, o calor trocado é dado por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é o calor (em joules), m a massa (em kg), c o calor específico (em \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}) e \Delta T a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}). Aqui usamos c da água porque chá se comporta como água pura.
  • Calor latente (fusão): Para mudar de fase (gelo \to água) à temperatura de fusão sem variação de temperatura, o calor necessário é
Q = m\,L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão (em \mathrm{J/kg}).
  • Conservação de energia (recipiente isolado): o calor total cedido por corpos que se resfriam é igual ao calor total absorvido por corpos que se aquecem ou mudam de fase, ou seja, a soma algébrica dos Q é zero:
\sum Q = 0.

Passo 3

Valores numéricos que vamos usar (valores padrão):
c_{\text{água}} = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}, \qquad L_f = 334000\\ \mathrm{J/kg}.á
Vou usar esses valores padronizados; eles são os que aparecem em tabelas físicas comuns.

Passo 4

Estratégia geral para cada caso:
  • Calculo o calor que o chá pode ceder ao ser resfriado até 0^\circ\mathrm{C} (se precisar descer até 0^\circ\mathrm{C}).
  • Verifico se esse calor é suficiente para fundir todo o gelo (energia necessária m_{\text{gelo}} L_f).
  • Se for suficiente, todo o gelo derrete e uso o calor restante para elevar a temperatura da massa total de água resultante; aí resolvo para T_f>0^\circ\mathrm{C}.
  • Se não for suficiente, nem todo o gelo derrete: a mistura final estará à temperatura 0^\circ\mathrm{C} e calculo quanto de gelo derreteu.
Agora aplico esses passos aos dois casos.

Passo 5

Caso (a): cálculo do calor disponível ao resfriar o chá de 100^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
A quantidade de calor que o chá pode ceder ao cair de 100^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C} é
Q_{\text{cedido}} = m_{\text{chá}}\,c\,\bigl(100 - 0\bigr).á
Substituindo números:
Q_{\text{cedido}} = 0{,}5\cdot 4186 \cdot 100 = 0{,}5\cdot 418600 = 209300\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Caso (a): calor necessário para fundir todo o gelo.
Energia para derreter 0{,}5\\ \mathrm{kg} de gelo é
Q_{\text{fusão}} = m_{\text{gelo}}\,L_f = 0{,}5\cdot 334000 = 167000\\ \mathrm{J}.ã

Passo 7

Caso (a): comparação e conclusão preliminar.
Comparando os valores:
Q_{\text{cedido}} = 209300\\ \mathrm{J}, \qquad Q_{\text{fusão}} = 167000\\ \mathrm{J}.ã
Como Q_{\text{cedido}} > Q_{\text{fusão}}ã, todo o gelo derrete. Depois que todo o gelo virou água a 0^\circ\mathrm{C}, sobra calor:
Q_{\text{restante}} = Q_{\text{cedido}} - Q_{\text{fusão}} = 209300 - 167000 = 42300\\ \mathrm{J}.ã

Passo 8

Caso (a): aquecimento da água resultante até T_f.
Depois de derreter o gelo temos m_{\text{total}} = 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}0\\ \mathrm{kg} de água inicialmente a 0^\circ\mathrm{C}. O calor restante aquece essa massa de água de 0^\circ\mathrm{C} até T_f:
Q_{\text{restante}} = m_{\text{total}}\,c\,(T_f - 0).
Isolando T_f:
T_f = \frac{Q_{\text{restante}}}{m_{\text{total}}\,c} = \frac{42300}{1{,}0\cdot 4186}.
Calculando:
T_f \approx \frac{42300}{4186} \approx 10{,}1^\circ\mathrm{C}.
Portanto, no caso (a) a temperatura final é de cerca de 10{,}1^\circ\mathrm{C} e todo o gelo derrete.

Passo 9

Caso (b): cálculo do calor que o chá pode ceder ao resfriar de 70^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
Q_{\text{cedido}} = m_{\text{chá}}\,c\,(70 - 0) = 0{,}5\cdot 4186 \cdot 70.á
Calculando:
4186\cdot 70 = 293020, \qquad Q_{\text{cedido}} = 0{,}5\cdot 293020 = 146510\\ \mathrm{J}.

Passo 10

Caso (b): comparar com o calor necessário para derreter todo o gelo.
Recordando:
Q_{\text{fusão (todo gelo)}} = 167000\\ \mathrm{J}.ã
Aqui Q_{\text{cedido}} = 146510\\ \mathrm{J} < 167000\\ \mathrm{J}. Logo o chá não tem calor suficiente para derreter todo o gelo. Conclusão: a temperatura final será 0^\circ\mathrm{C} e haverá mistura de água e gelo (parte do gelo permanecerá sólido).

Passo 11

Caso (b): quanto de gelo derreteu?
A massa de gelo que derreteu, m_{\text{derretida}}, é obtida por igualar o calor cedido pelo chá ao calor de fusão absorvido pelo gelo que efetivamente derreteu:
m_{\text{derretida}}\,L_f = Q_{\text{cedido}}.
Logo
m_{\text{derretida}} = \frac{Q_{\text{cedido}}}{L_f} = \frac{146510}{334000}.
Calculando:
m_{\text{derretida}} \approx 0{,}4388\\ \mathrm{kg} = 438{,}8\\ \mathrm{g}.
Portanto a massa de gelo que restou sólida é
m_{\text{restante}} = 0{,}5 - 0{,}4388 = 0{,}0612\\ \mathrm{kg} \approx 61{,}2\\ \mathrm{g}.

Resposta

(a) Temperatura final T_f \approx 10{,}1^\circ\mathrm{C} (todo o gelo derreteu).
(b) Estado final: mistura de água e gelo à temperatura 0^\circ\mathrm{C}. Massa de gelo derretida \approx 0{,}4388\\ \mathrm{kg} (438,8 g); massa de gelo restante \approx 0{,}0612\\ \mathrm{kg} (61,2 g).

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