Um pesquisador utiliza o efeito Doppler para calcular a velocidade do som em um meio desconhecido. Para isso, ele mantém uma fonte sonora em repouso, emitindo som a 582 Hz . Um receptor se move a 27,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, em relação à fonte, e detecta uma frequência de 546 Hz . Qual a velocidade do som obtida pelo pesquisador para esse meio?
Dica: através da comparação entre as frequências, é possível saber se o receptor está se aproximando ou se afastando da fonte.
Resposta: \square \bigcirc \mathrm{m} / \mathrm{s} \bigcirc \mathrm{km} / \mathrm{s} \bigcirc \mathrm{km} / \mathrm{h}

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:\n
Fonte sonora em repouso com frequência emitida \,f_s=582\\ \mathrm{Hz}.\n
Receptor (observador) se move com velocidade \,v_o=27,1\\ \mathrm{m/s} em relação à fonte.\n
Frequência detectada pelo receptor \,f'=546\\ \mathrm{Hz}.\n
Pergunta: determinar a velocidade do som no meio, \,v (unidade natural: \mathrm{m/s}).\n
Observação útil (dada na dica): comparar \,f' com \,f_s. Como \,f'<f_s, isso indica que o receptor está se afastando da fonte.

Passo 2

Entendendo a fórmula do efeito Doppler (explicação passo a passo):\n
Quando a fonte está em repouso e o observador se move, a frequência percebida pelo observador é dada por\n
f'=\frac{v\pm v_o}{v}\,f_s.
Aqui:
  • \,v é a velocidade do som no meio (o que queremos encontrar);\n
  • \,v_o é a velocidade do observador relativa ao meio (positiva no sentido de se aproximar da fonte na convenção que usaremos);\n
  • o sinal + no numerador é usado quando o observador se aproxima da fonte (a frequência percebida aumenta);\n
  • o sinal - no numerador é usado quando o observador se afasta da fonte (a frequência percebida diminui).\n
    Breve intuição: se você se aproxima das frentes de onda, “encontra” mais frentes por segundo, então mede frequência maior; se se afasta, encontra menos, mede frequência menor.

Passo 3

Escolhendo o sinal correto para esta situação:\n
Como vimos no Passo 1, \,f'<f_s (546 Hz < 582 Hz), logo o receptor está se afastando. Portanto usamos o sinal - na fórmula. Assim:
f'=\frac{v - v_o}{v}\,f_s.

Passo 4

Isolando \,v na equação (álgebra passo a passo):\n
Partimos de
f'=\frac{v - v_o}{v}\,f_s.
Divido ambos os lados por \,f_s:
\frac{f'}{f_s}=\frac{v - v_o}{v}.
O lado direito pode ser reescrito como 1-\dfrac{v_o}{v}, então:
\frac{f'}{f_s}=1-\frac{v_o}{v}.
Passo termos: isolo \dfrac{v_o}{v}:
\frac{v_o}{v}=1-\frac{f'}{f_s}.
Invertendo ambos os lados para resolver \,v:
v=\frac{v_o}{1-\dfrac{f'}{f_s}}.
Essa é a expressão final para \,v quando o observador se afasta.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e simplificando frações:\n
Calcule primeiro \dfrac{f'}{f_s}:
\frac{f'}{f_s}=\frac{546}{582}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 6:
\frac{546}{582}=\frac{91}{97}\approx0,93814433.

Passo 6

Calcular o denominador da expressão para \,v:\n
1-\frac{f'}{f_s}=1-\frac{91}{97}=\frac{97-91}{97}=\frac{6}{97}\approx0,06185567.

Passo 7

Calcular \,v usando a fórmula obtida:\n
v=\frac{v_o}{1-\dfrac{f'}{f_s}}=v_o\cdot\frac{97}{6}.
Substituindo \,v_o=27,1\\ \mathrm{m/s}:
v=27,1\cdot\frac{97}{6}.
Calcule passo a passo: \,27,1\cdot97=2628,7. Agora divida por 6:
v=\frac{2628,7}{6}=438,1166\ldots\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação:\n
Com os dados dados (alguns valores com 3 algarismos significativos), é razoável apresentar o resultado com três algarismos significativos: \,v\approx438\\ \mathrm{m/s}.\n
Se quiser mais precisão, podemos escrever \,v\approx438,12\\ \mathrm{m/s}.\n
Curiosidade (conversão): em \mathrm{km/h}, multiplica-se por 3,6: \,438,12\cdot3,6\approx1577,23\\ \mathrm{km/h}. Mas a unidade apropriada para velocidade do som é \mathrm{m/s}.

Resposta

438,12\\ \mathrm{m/s}

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