Um pesquisador utiliza o efeito Doppler para calcular a velocidade do som em um meio desconhecido. Para isso, ele mantém uma fonte sonora em repouso, emitindo som a 582 Hz . Um receptor se move a
, em relação à fonte, e detecta uma frequência de 546 Hz . Qual a velocidade do som obtida pelo pesquisador para esse meio?
Dica: através da comparação entre as frequências, é possível saber se o receptor está se aproximando ou se afastando da fonte.
Resposta:
Dica: através da comparação entre as frequências, é possível saber se o receptor está se aproximando ou se afastando da fonte.
Passo 1
Dados fornecidos e o que se pede:\n
Fonte sonora em repouso com frequência emitida .\n
Receptor (observador) se move com velocidade em relação à fonte.\n
Frequência detectada pelo receptor .\n
Pergunta: determinar a velocidade do som no meio, (unidade natural:
).\n
Observação útil (dada na dica): comparar com
. Como
, isso indica que o receptor está se afastando da fonte.
Fonte sonora em repouso com frequência emitida
Receptor (observador) se move com velocidade
Frequência detectada pelo receptor
Pergunta: determinar a velocidade do som no meio,
Observação útil (dada na dica): comparar
Passo 2
Entendendo a fórmula do efeito Doppler (explicação passo a passo):\n
Quando a fonte está em repouso e o observador se move, a frequência percebida pelo observador é dada por\n
Quando a fonte está em repouso e o observador se move, a frequência percebida pelo observador é dada por\n
Aqui:
-
é a velocidade do som no meio (o que queremos encontrar);\n -
é a velocidade do observador relativa ao meio (positiva no sentido de se aproximar da fonte na convenção que usaremos);\n - o sinal
no numerador é usado quando o observador se aproxima da fonte (a frequência percebida aumenta);\n - o sinal
no numerador é usado quando o observador se afasta da fonte (a frequência percebida diminui).\n
Breve intuição: se você se aproxima das frentes de onda, “encontra” mais frentes por segundo, então mede frequência maior; se se afasta, encontra menos, mede frequência menor.
Passo 3
Escolhendo o sinal correto para esta situação:\n
Como vimos no Passo 1, (546 Hz < 582 Hz), logo o receptor está se afastando. Portanto usamos o sinal
na fórmula. Assim:
Como vimos no Passo 1,
Passo 4
Isolando
na equação (álgebra passo a passo):\n
Partimos de
Partimos de
Divido ambos os lados por
:
O lado direito pode ser reescrito como
, então:
Passo termos: isolo
:
Invertendo ambos os lados para resolver
:
Essa é a expressão final para
quando o observador se afasta.
Passo 5
Substituindo os valores numéricos e simplificando frações:\n
Calcule primeiro :
Calcule primeiro
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Calcular o denominador da expressão para
:\n
Passo 7
Calcular
usando a fórmula obtida:\n
Substituindo
:
Calcule passo a passo:
. Agora divida por
:
Passo 8
Arredondamento e interpretação:\n
Com os dados dados (alguns valores com 3 algarismos significativos), é razoável apresentar o resultado com três algarismos significativos: .\n
Se quiser mais precisão, podemos escrever .\n
Curiosidade (conversão): em , multiplica-se por
:
. Mas a unidade apropriada para velocidade do som é
.
Com os dados dados (alguns valores com 3 algarismos significativos), é razoável apresentar o resultado com três algarismos significativos:
Se quiser mais precisão, podemos escrever
Curiosidade (conversão): em