A temperatura de \mathbf{2 , 0} mols de um gás ideal monoatômico é aumentada de 15,0 \mathrm{~K}. Determine o trabalho W realizado pelo gás, a quantidade Q de calor transferido para o gás e a variação \Delta E_{\text {int }} da energia interna do gás para (a) um processo a pressão constante e (b) um processo adiabático. (3,0)

Passo 1

O enunciado diz: temos 2{,}0 mols de um gás ideal monoatômico e a temperatura desse gás é aumentada em 15{,}0\\ \mathrm{K}. Pede-se, para dois processos diferentes, os valores do trabalho W realizado pelo gás, da quantidade de calor Q transferida para o gás e da variação da energia interna \Delta E_{\text{int}}. Informação e perguntas listadas:
  • Dados: n = 2{,}0\\ \text{mol}.
  • Dados: \Delta T = 15{,}0\\ \mathrm{K}.
  • Pergunta (a): para um processo a pressão constante — achar W, Q e \Delta E_{\text{int}}.
  • Pergunta (b): para um processo adiabático — achar W, Q e \Delta E_{\text{int}}.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas fundamentais (aulas rápidas, passo a passo). A primeira lei da termodinâmica relaciona variação da energia interna, calor e trabalho assim:
\Delta U = Q - W
Aqui explico os sinais: \Delta U é a variação da energia interna do gás; Q é o calor fornecido ao sistema (positivo se entra calor no gás); W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente). Essa convenção é muito usada em livros de termodinâmica.

Passo 3

Energia interna de um gás ideal monoatômico: é proporcional à temperatura e à quantidade de matéria. A expressão é:
U = \frac{3}{2}\,nRT
onde n é o número de mols, R é a constante dos gases ideais ( R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}) e T é a temperatura absoluta. Daí a variação da energia interna ao mudar a temperatura é:
\Delta U = \frac{3}{2}\,nR\Delta T.
Isto significa que, independentemente do caminho termodinâmico (isobárico, adiabático, isotérmico etc.), a variação de energia interna depende só da variação de temperatura para um gás ideal.

Passo 4

Calculemos numericamente \Delta U com os dados: n=2{,}0\\ \text{mol}, \Delta T=15{,}0\\ \mathrm{K} e R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Substituindo na fórmula:
\Delta U = \frac{3}{2}\cdot nR\Delta T = \frac{3}{2}\cdot 2{,}0 \cdot 8{,}314 \cdot 15{,}0.
Faço as multiplicações em etapas para você poder copiar na prova sem calculadora: primeiro nR\Delta T = 2{,}0 \cdot 8{,}314 \cdot 15{,}0 = 249{,}42\\ \mathrm{J}. Em seguida
\Delta U = \frac{3}{2}\cdot 249{,}42 = 1{,}5\cdot 249{,}42 = 374{,}13\\ \mathrm{J}.
Arredondando a três algarismos significativos (compatível com os dados), obtemos
\Delta E_{\text{int}} = \Delta U \approx 374\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Agora resolvemos o item (a): processo a pressão constante.
  • Trabalho realizado pelo gás a pressão constante: o trabalho é W = p\,\Delta V. Usando a equação de estado pV = nRT, para variações pequenas a pressão constante dá p\Delta V = nR\Delta T. Portanto, para o processo isobárico:
W_{\text{isobárico}} = nR\Delta T.á
Já calculámos nR\Delta T na etapa anterior: nR\Delta T = 249{,}42\\ \mathrm{J}. Assim
W_{\text{isobárico}} \approx 249{,}4\\ \mathrm{J} \quad\text{(arredondando: \(249\\ \mathrm{J}\)).}á
  • Calor trocado no processo isobárico: usamos a primeira lei \Delta U = Q - W, então
Q = \Delta U + W.
Substituindo \Delta U = 374{,}13\\ \mathrm{J} e W = 249{,}42\\ \mathrm{J},
Q_{\text{isobárico}} = 374{,}13 + 249{,}42 = 623{,}55\\ \mathrm{J}.á
Arredondando: Q_{\text{isobárico}} \approx 624\\ \mathrm{J}á.
Resumo do item (a) (valores arredondados a 3 algarismos significativos):
W \approx 249\\ \mathrm{J},\qquad Q \approx 624\\ \mathrm{J},\qquad \Delta E_{\text{int}} \approx 374\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Agora o item (b): processo adiabático. Por definição de adiabático, não há troca de calor com o meio, logo:
Q_{\text{adiabático}} = 0.á
Aplicando a primeira lei \Delta U = Q - W com Q=0 obtemos
\Delta U = -W \quad\Rightarrow\quad W = -\Delta U.
Isto significa que o trabalho realizado pelo gás é o negativo da variação da energia interna. Como no enunciado a temperatura aumentou ( \Delta T>0), \Delta U>0; logo W será negativo — isto indica que, no processo adiabático que aumenta a temperatura, o gás foi comprimido e o trabalho foi realizado sobre o gás (o sinal negativo diz que o gás não fez trabalho sobre o ambiente, e sim recebeu trabalho). Usando o valor já calculado \Delta U = 374{,}13\\ \mathrm{J},
W_{\text{adiabático}} = -374{,}13\\ \mathrm{J}\approx -374\\ \mathrm{J}.á
E
Q_{\text{adiabático}} = 0,\qquad \Delta E_{\text{int}} = 374{,}13\\ \mathrm{J}\approx 374\\ \mathrm{J}.á

Resposta

(a) W \approx 249\\ \mathrm{J}, Q \approx 624\\ \mathrm{J}, \Delta E_{\text{int}} \approx 374\\ \mathrm{J}
(b) W \approx -374\\ \mathrm{J}, Q = 0, \Delta E_{\text{int}} \approx 374\\ \mathrm{J}

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