Uma senóide e^sigma t cos omega t pode ser expressa como a soma das exponenciais e^s t e e^-s t [Eq. (1.30c)] com freqüências complexas s=sigma+j omega e s=sigma -j omega. Localize no plano complexo as freqüências das seguintes senóides:
(e) e^2 t

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que toda senóide
e^sigma tcos(omega t)
pode ser escrita como a soma de duas exponenciais
12e^(sigma+jomega)t + 12e^(sigma-jomega)t
com frequências complexas
s1=sigma+jomegae s2=sigma-jomega
O exercício (item e) pede para “localizar no plano complexo as frequências” da função
e^2t
Para resolver vamos precisar:
  1. identificar os parâmetros e em ,
  2. usar a fórmula ,
  3. marcar o resultado no plano complexo.

Passo 2

Identificando e^2t = e^2tcos(0cdot t) e sigma = 2 e omega = 0 em :
Como não há parte oscilatória explícita, a gente pode imaginar
Isso significa que

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula das frequências complexas:
s1 = sigma + jomega = 2 + jcdot0 = 2,
s2 = sigma - jomega = 2 - jcdot0 = 2
Ou seja, as duas frequências coincidem no mesmo ponto.

Passo 4

Para desenhar no plano complexo:
  • Eixo horizontal é a parte real ( ),
  • eixo vertical é a parte imaginária ( ).
    Como both e têm parte real igual a 2 e parte imaginária zero, o ponto fica em no eixo real.

Resposta

As frequências complexas de s1 = 2 + j0 e s2 = 2 - j0, são
ou seja, ambas localizadas no ponto do eixo real do plano complexo.

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