Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
(d) d yd t+y^2(t)=x(t)

Passo 1

Beleza! A questão é: “Para o sistema descrito por
d yd t + y^2(t) = x(t),
com entrada Tl[a,x1(t) + b,x2(t)r] ;=; a,Tl[x1(t)r] + b,Tl[x2(t)r] e saída , determinar se o sistema é linear ou não.”
Conteúdo: teoria de sistemas lineares – em especial a propriedade da superposição (aditividade + homogeneidade). Vamos precisar lembrar a definição de linearidade:
Um sistema é linear se, para quaisquer sinais , e escalares , , o seguinte vale:
A partir do próximo passo, a gente testa isso na prática.

Passo 2

Primeiro, recapitular a superposição:
  1. Aditividade: dydt + y^2(t) = x(t) .
  2. Homogeneidade: .
    Se rolar qualquer “misturinha” que quebre esses dois itens, o sistema é não-linear.
    No nosso caso, leva e devolve que resolve

Passo 3

Vamos testar com dois inputs dy1dt + y1^2 = x1, dy2dt + y2^2 = x2 e yc(t) = a,y1(t) + b,y2(t) , cujas saídas são ddtl[a,y1 + b,y2r] ;+; l(a,y1 + b,y2r)^2 = a,dy1dt + b,dy2dt + l(a^2y1^2 + 2ab,y1y2 + b^2y2^2r) e al(tfracdy1dt + y1^2r) + bl(tfracdy2dt + y2^2r) = a,x1 + b,x2 , ou seja:
Agora considere o input combinado . Se o sistema fosse linear, a saída combinada seria
Mas veja o que acontece ao colocar na equação:
Já a soma das respostas escalonadas seria
Repara que tem um termo cru e coeficientes misturados, que não aparecem em . Isso quebra a igualdade necessária à superposição.

Resposta

O sistema é não linear, pois a presença do termo impede a propriedade da superposição.

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