Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza! A questão é: “Para o sistema descrito por
com entrada
e saída
, determinar se o sistema é linear ou não.”
Conteúdo: teoria de sistemas lineares – em especial a propriedade da superposição (aditividade + homogeneidade). Vamos precisar lembrar a definição de linearidade:
Um sistema é linear se, para quaisquer sinais ,
e escalares
,
, o seguinte vale:
Conteúdo: teoria de sistemas lineares – em especial a propriedade da superposição (aditividade + homogeneidade). Vamos precisar lembrar a definição de linearidade:
Um sistema é linear se, para quaisquer sinais
A partir do próximo passo, a gente testa isso na prática.
Passo 2
Primeiro, recapitular a superposição:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Se rolar qualquer “misturinha” que quebre esses dois itens, o sistema é não-linear.
No nosso caso,leva e devolve que resolve
Passo 3
Vamos testar com dois inputs
e
, cujas saídas são
e
, ou seja:
Agora considere o input combinado
. Se o sistema fosse linear, a saída combinada seria
Mas veja o que acontece ao colocar
na equação:
Já a soma das respostas escalonadas seria
Repara que tem um termo cru
e coeficientes
misturados, que não aparecem em
. Isso quebra a igualdade necessária à superposição.
Resposta
O sistema
é não linear, pois a presença do termo
impede a propriedade da superposição.