Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), explique com razões quais dos sistemas são sistemas com parâmetros invariantes no tempo e quais são sistemas com parâmetros variantes no tempo.
(d) y(t)=t x(t-2)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um sistema que, dada uma entrada y(t)=t,x(t-2), gera a saída
Queremos descobrir se ele é invariante no tempo (IT) ou variante no tempo (VT).
Conteúdo: propriedade de invariança no tempo de sistemas contínuos.
O que vamos usar:
  1. Definição de invariança no tempo: para todo deslocamento , aplicar o deslocamento na entrada e ver se isso desloca a saída do mesmo jeito.

Passo 2

Definição do teste de invariança no tempo:
– Seja y1(t)=Txd(t) ;=;t;l[x(t-t0)r]tto t-2 ;=;t;xl((t-2)-t0r) ;=;t;x(t-2-t0) a entrada deslocada.
– A saída correspondente é
É assim que o sistema responde quando deslocamos a entrada em .

Passo 3

Agora calculamos a saída original deslocada em y2(t)=y(t-t0) =;(t-t0);xl((t-t0)-2r) =;(t-t0);x(t-2-t0) :
y1(t);=;y2(t) ;Longrightarrow; t;x(t-2-t0);=;(t-t0);x(t-2-t0)
Para ser invariante no tempo precisaríamos ter
t;neq;t-t0
para TODO e TODO . Mas claramente
(ao menos que , o que não vale para deslocamentos gerais).

Resposta

Como y(t)=t,x(t-2), o sistema
é um sistema com parâmetros variantes no tempo (VT).

Exercícios relacionados