Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra gente olhar o sistema descrito por
e decidir se ele é linear ou não. Isso cai na matéria de sistemas lineares e não-lineares, mais especificamente no teste de superposição (homogeneidade e aditividade).
Passo 2
Antes de mais nada, lembra da definição de sistema linear: se a gente chama de
a “caixinha” que mapeia
em
, o sistema é linear se, para quaisquer sinais
e
e escalares
e
, valer
- Aditividade:
- Homogeneidade (ou escala):
Se qualquer uma dessas falhar, o sistema é não-linear.
Passo 3
No nosso caso, o “operador” vem da equação
Para ele ser linear, o termo
teria de se comportar como algo do tipo “constante vezes
”. Mas não é: é o quadrado da derivada.
- Se você somar duas soluções
e , ao derivar e quadrar vai aparecer e esse termo extra faz quebrar a aditividade. - Se você escalar a entrada por um fator
, a derivada leva um , mas o quadrado leva . Isso também destrói a homogeneidade.
Logo, esse quadrado da derivada é a “pegadinha” que deixa o sistema não-linear.
Resposta
O sistema
é não-linear.