Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
(e) (d yd t)^2+2 y(t)=x(t)

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente olhar o sistema descrito por
l(tfracdydtr)^2 ;+; 2,y(t) ;=; x(t)
e decidir se ele é linear ou não. Isso cai na matéria de sistemas lineares e não-lineares, mais especificamente no teste de superposição (homogeneidade e aditividade).

Passo 2

Antes de mais nada, lembra da definição de sistema linear: se a gente chama de Tx1(t) + x2(t) = Tx1(t) + Tx2(t) a “caixinha” que mapeia Ta,x1(t) = a,Tx1(t) em , o sistema é linear se, para quaisquer sinais e e escalares e , valer
  1. Aditividade:
  1. Homogeneidade (ou escala):
Se qualquer uma dessas falhar, o sistema é não-linear.

Passo 3

No nosso caso, o “operador” vem da equação
l(tfracdydtr)^2 + 2,y(t) = x(t)
Para ele ser linear, o termo l(tfracddt(y1 + y2)r)^2 = l(y1' + y2'r)^2 = (y1')^2 + 2,y1',y2' + (y2')^2, teria de se comportar como algo do tipo “constante vezes ”. Mas não é: é o quadrado da derivada.
  • Se você somar duas soluções e , ao derivar e quadrar vai aparecer e esse termo extra faz quebrar a aditividade.
  • Se você escalar a entrada por um fator , a derivada leva um , mas o quadrado leva . Isso também destrói a homogeneidade.
Logo, esse quadrado da derivada é a “pegadinha” que deixa o sistema não-linear.

Resposta

O sistema é não-linear.

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