Uma senóide e^sigma t cos omega t pode ser expressa como a soma das exponenciais e^s t e e^-s t [Eq. (1.30c)] com freqüências complexas s=sigma+j omega e s=sigma -j omega. Localize no plano complexo as freqüências das seguintes senóides:
(b) e^-3 t cos 3 t

Passo 1

Beleza, o enunciado está pedindo para a gente “achar” onde ficam, no plano complexo, as frequências de uma senóide com amortecimento. A matéria é de Sinais e Sistemas (Transformada de Laplace/Análise de sinais: frequência complexa). Para resolver, a gente vai usar a ideia de que
\quad uma senóide amortecida s = sigma + jomega e s = sigma - jomega; pode ser escrita como soma de exponenciais com frequências complexas
Ou seja, basta identificar e no enunciado e botar esses valores na fórmula.

Passo 2

O exercício (letra b) dá a senóide
e^-3tcos(3t);
Comparando com sigma = -3 e omega = 3; , vemos que
s1 = sigma + jomega = -3 + j3, s2 = sigma - jomega = -3 - j3
Logo, as duas frequências complexas são

Passo 3

Para “localizar” esses pontos no plano complexo, a gente coloca um eixo real (Re) e um eixo imaginário (Im):
  • fica no ponto .
  • fica no ponto .
Visualmente, é só marcar esses dois pontos simetricamente acima e abaixo do eixo real, ambos a .

Resposta

As frequências complexas da senóide boxeds1 = -3 + j3 e s2 = -3 - j3, são

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