Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), explique com razões quais dos sistemas são sistemas com parâmetros invariantes no tempo e quais são sistemas com parâmetros variantes no tempo.
(a) y(t)=x(t-2)

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é bem direto: temos um sistema cujo comportamento é dado por
y(t) = x(t - 2)
e a gente precisa dizer se ele é invariante ou variante no tempo. O tema é “invariância no tempo” de sistemas LTI (mesmo que aqui não falemos de linearidade, só de invariância). Para resolver, precisamos lembrar a definição de sistema invariante no tempo e aplicar a “regra do deslocamento”.

Passo 2

Definição de invariância no tempo (de um jeito tranquilo):
Um sistema é invariante no tempo se, quando a gente atrasa (ou adianta) a entrada em um certo valor y1(t) = y(t - tau) , a saída também atrasa (ou adianta) exatamente esse mesmo valor , sem nenhuma mudança extra.
Matematicamente, se para um input a saída é , então para o input deslocado a saída tem que ser
Se der essa conta certinho, o sistema é invariante no tempo. Se não der, é variante.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso sistema x1(t) = x(t - tau) .
  1. Pegamos um atraso genérico y1(t) = x1(t - 2) = xl((t - 2) - taur) = xl(t - tau - 2r) e construímos a entrada atrasada: y(t - tau) = xl((t - tau) - 2r) = xl(t - tau - 2r)
  2. Passamos essa y1(t) = x(t - tau - 2) = y(t - tau) pelo sistema:
  3. Agora, o que seria para o nosso sistema original?
  4. Note que deu certinho:
Isso mostra que atrasar a entrada em acaba atrasando a saída no mesmo valor , sem surpresas.

Resposta

O sistema é invariante no tempo.

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