Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, explique com razões quais dos sistemas são sistemas com parâmetros invariantes no tempo e quais são sistemas com parâmetros variantes no tempo.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado é bem direto: temos um sistema cujo comportamento é dado por
e a gente precisa dizer se ele é invariante ou variante no tempo. O tema é “invariância no tempo” de sistemas LTI (mesmo que aqui não falemos de linearidade, só de invariância). Para resolver, precisamos lembrar a definição de sistema invariante no tempo e aplicar a “regra do deslocamento”.
Passo 2
Definição de invariância no tempo (de um jeito tranquilo):
Um sistema é invariante no tempo se, quando a gente atrasa (ou adianta) a entrada em um certo valor , a saída também atrasa (ou adianta) exatamente esse mesmo valor
, sem nenhuma mudança extra.
Matematicamente, se para um input a saída é
, então para o input deslocado
a saída tem que ser
Um sistema é invariante no tempo se, quando a gente atrasa (ou adianta) a entrada em um certo valor
Matematicamente, se para um input
Se der essa conta certinho, o sistema é invariante no tempo. Se não der, é variante.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso sistema
.
- Pegamos um atraso genérico
e construímos a entrada atrasada: - Passamos essa
pelo sistema: - Agora, o que seria
para o nosso sistema original? - Note que deu certinho:
Isso mostra que atrasar a entrada em
acaba atrasando a saída no mesmo valor
, sem surpresas.
Resposta
O sistema
é invariante no tempo.