Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
(a) d yd t+2 y(t)=x^2(t)

Passo 1

O exercício pede pra gente ver se o sistema
dydt + 2,y(t) = x^2(t)
é linear ou não. Isso faz parte de “Análise de Sistemas” ou “Teoria de Sistemas Lineares e Não Lineares”. Para resolver, a gente vai precisar do conceito de superposição (aditividade + homogeneidade): um sistema é linear se, para qualquer par de entradas e quaisquer constantes, valem
1) aditividade: Sx1+x2=Sx1+Sx2
2) homogeneidade: Sa,x=a,Sx

Passo 2

Vamos relembrar o que significa:
  • Se eu der duas entradas x1(t) e x2(t) separadamente e elas gerarem saídas y1(t) e y2(t), então no sistema linear eu deveria ter Sx1(t)+x2(t) ;=; y1(t) + y2(t)
    - E se eu der a entrada escalonada por uma constante a, ou seja, a,x(t), a saída deve escalar do mesmo jeito:
    Sa,x(t) ;=; a,y(t)

Passo 3

Agora aplicando isso ao nosso sistema. A equação é
dydt + 2,y(t) = x^2(t)
1) Teste de homogeneidade: suponha que para a entrada x(t) a saída seja y(t). Se eu dobrar a entrada ( 2,x(t)), a equação vira
dtilde ydt + 2,tilde y(t) = [2,x(t)]^2 = 4,x^2(t)
Ou seja, a nova saída tilde y(t) não vai ser 2,y(t), e sim algo que satisfaz
dtilde ydt + 2,tilde y = 4,x^2,
logo tilde y(t)neq 2,y(t). Já estourou a regra de homogeneidade.
2) (Opcional) Se você fizer aditividade, com x1+x2, vai aparecer (x1+x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2neq x1^2 + x2^2. Também falha.
Então o sistema quebra a superposição e, portanto, é não linear.

Resposta

O sistema dydt + 2y(t) = x^2(t) é não linear.

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