Considere uma cadeia unidimensional de iões de cargas eléctricas
e
dispostos alternadamente e equidistantes. Suponha que existe um potencial de repulsão da forma
entre iões vizinhos.
(a) Obtenha a energia potencial da rede em função da distância entre vizinhos (
)
(b) Obtenha o mínimo da energia potencial, quando a distância entre vizinhos
.
(c) Suponha que é feita uma compressão
. Determine o trabalho realizado nessa compressão, escrevendo-o na forma
e obtendo
.
(a) Obtenha a energia potencial da rede em função da distância entre vizinhos (
(b) Obtenha o mínimo da energia potencial, quando a distância entre vizinhos
(c) Suponha que é feita uma compressão
Passo 1
O enunciado fala de uma cadeia infinita unidimensional de íons de cargas alternadas
e
, separados por distância
. Há duas contribuições à energia por íon: (i) atração/repulsão coulômbica de todos os outros íons da cadeia; (ii) um potencial de repulsão de curto alcance
apenas entre vizinhos diretos. O conteúdo é a soma de séries de Coulomb em 1D (Madelung) e a minimização de energia usando termodinâmica de rede. Vamos obter:
(a) ;
(b) condição de mínimo para ;
(c) trabalho de pequena compressão .
(a)
(b) condição de mínimo para
(c) trabalho de pequena compressão
Passo 2
Cálculo da parte coulômbica por íon. A contribuição de um íon em
para outro em
vale
onde
e
. Logo
Passo 3
Repulsão de Born–Landé só entre vizinhos diretos: cada íon interage com os dois vizinhos a
, somando
Logo a energia total por íon é
Passo 4
Para achar o equilíbrio
, impomos
:
Desse modo
Passo 5
Para uma compressão leve
com
, usamos expansão em série até 2ª ordem:
O trabalho realizado é
.
Aqui e definimos
Aqui
Passo 6
Calculamos
. Escrevendo
com
e
, tem-se
Em
usamos a relação de equilíbrio
para eliminar
, obtendo
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c) com
(b)
(c)