Considere uma cadeia unidimensional de iões de cargas eléctricas +q e -q dispostos alternadamente e equidistantes. Suponha que existe um potencial de repulsão da forma A / r^{n} entre iões vizinhos.
(a) Obtenha a energia potencial da rede em função da distância entre vizinhos ( R )
(b) Obtenha o mínimo da energia potencial, quando a distância entre vizinhos r= R_{0}.
(c) Suponha que é feita uma compressão R=R_{0}(1-\delta) \operatorname{com} \delta \ll 1. Determine o trabalho realizado nessa compressão, escrevendo-o na forma W=\frac{1}{2} C \delta^{2} e obtendo C.

Passo 1

O enunciado fala de uma cadeia infinita unidimensional de íons de cargas alternadas +q e -q, separados por distância R. Há duas contribuições à energia por íon: (i) atração/repulsão coulômbica de todos os outros íons da cadeia; (ii) um potencial de repulsão de curto alcance A/r^n apenas entre vizinhos diretos. O conteúdo é a soma de séries de Coulomb em 1D (Madelung) e a minimização de energia usando termodinâmica de rede. Vamos obter:
(a) U(R);
(b) condição de mínimo para R=R_0;
(c) trabalho de pequena compressão R=R_0(1-\delta).

Passo 2

Cálculo da parte coulômbica por íon. A contribuição de um íon em 0 para outro em kR vale
\frac{q_0q_k}{4\pi\varepsilon_0\,kR}\,,
onde q_0=+q e q_k =(-1)^kq. Logo
U_{\rm Coul}(R) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k\,q^2}{4\pi\varepsilon_0\,kR} =\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\,R}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k} =-\frac{q^2\ln 2}{4\pi\varepsilon_0\,R}\,.

Passo 3

Repulsão de Born–Landé só entre vizinhos diretos: cada íon interage com os dois vizinhos a \pm R, somando
U_{\rm rep}(R)=2\,\frac{A}{R^n}\,.
Logo a energia total por íon é
U(R) =-\frac{q^2\ln 2}{4\pi\varepsilon_0\,R} +\frac{2A}{R^n}\,.

Passo 4

Para achar o equilíbrio R_0, impomos \mathrm{d}U/\mathrm{d}R=0:
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}R} =\frac{q^2\ln 2}{4\pi\varepsilon_0}\,R^{-2} -2nA\,R^{-n-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{q^2\ln 2}{4\pi\varepsilon_0\,R_0^2} =2nA\,R_0^{-n-1}\,.
Desse modo
R_0^{\,n-1} =\frac{2nA\,4\pi\varepsilon_0}{q^2\ln 2} \quad\Longrightarrow\quad R_0 =\biggl(\frac{2nA\,4\pi\varepsilon_0}{q^2\ln 2}\biggr)^{\!1/(n-1)}.

Passo 5

Para uma compressão leve R=R_0(1-\delta) com \delta\ll1, usamos expansão em série até 2ª ordem:
U(R)\approx U(R_0) +\tfrac12\,U''(R_0)\,(R-R_0)^2.
O trabalho realizado é W=U(R)-U(R_0)\approx\tfrac12\,C\,\delta^2.
Aqui R-R_0=-R_0\delta e definimos
C=U''(R_0)\,R_0^2.

Passo 6

Calculamos U''(R). Escrevendo U(R)=-\alpha R^{-1}+\beta R^{-n} com \alpha=q^2\ln2/(4\pi\varepsilon_0) e \beta=2A, tem-se
U''(R) =2\alpha\,R^{-3} +\beta\,n(n+1)\,R^{-n-2}.
Em R_0 usamos a relação de equilíbrio \alpha/R_0^2=n\beta/R_0^{n+1} para eliminar \beta, obtendo
U''(R_0) =\frac{2\alpha}{R_0^3} +\frac{\alpha(n+1)}{R_0^3} =\frac{\alpha\,(n+3)}{R_0^3}.
Logo
C=U''(R_0)\,R_0^2 =\frac{\alpha\,(n+3)}{R_0} =\frac{q^2\ln2}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{n+3}{R_0}.

Resposta

(a) U(R)=-\dfrac{q^2\ln2}{4\pi\varepsilon_0\,R}+\dfrac{2A}{R^n}.
(b) R_0=\bigl(2nA\,4\pi\varepsilon_0/(q^2\ln2)\bigr)^{1/(n-1)}.
(c) W=\tfrac12\,C\,\delta^2 com \displaystyle C=\frac{q^2\ln2}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{n+3}{R_0}.

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