Escreva e simplifique o balanço de energia para sistemas fechados para cada um dos seguintes processos, e estabeleça se os termos de trabalho e calor diferentes de zero são positivos ou negativos. Justifique sua resposta.
Considere o sistema, processo e o estado inicial apresentado no item a). Porém, o processo aconteceu de modo que o gás mantivesse sua temperatura constante (por meio da remoção de pesos sobre o êmbolo).

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva e simplifique o balanço de energia para um sistema fechado no processo descrito, e que eu determine o sinal (positivo/negativo) dos termos de calor e trabalho que forem diferentes de zero, justificando. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
  • Sistema: um gás confinado por um êmbolo (sistema fechado: massa do gás constante).
  • Processo: o êmbolo é liberado gradualmente pela remoção de pesos, o gás expande mantendo a temperatura constante (isotérmico).
  • Estado inicial: é o apresentado no item (a) do enunciado original (não necessário aqui o valor numérico para formular o balanço).
  • Pressuposições que vou usar (claras): desprezo variações de energia cinética e potencial do sistema (ΔKE ≈ 0, ΔPE ≈ 0). Além disso tomo o caso usual em termodinâmica que a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, de modo que, para processo isotérmico, ΔU = 0. (Se o gás não for ideal e U dependesse de outras variáveis, a conclusão ΔU = 0 teria de ser reavaliada.)

Passo 2

Escrevo o balanço de energia geral para sistema fechado (forma usual em termodinâmica):
\Delta E = Q - W
onde:
  • \Delta E é a variação total de energia do sistema;
  • Q é o calor transferido para o sistema (sinal positivo se entra energia por calor);
  • W é o trabalho realizado PELO sistema (sinal positivo quando o sistema realiza trabalho sobre as vizinhanças).
    Além disso:
\Delta E = \Delta U + \Delta KE + \Delta PE,
com \Delta U variação de energia interna, \Delta KE variação de energia cinética e \Delta PE variação de energia potencial.
Explico a convenção de sinais: escolhi a convenção mais comum em livros de termodinâmica/engenharia que aparece na fórmula acima — W>0 significa trabalho efetuado pelo sistema. Se alguém usar a convenção oposta (trabalho sobre o sistema positivo), basta trocar o sinal do termo W na relação final.

Passo 3

Aplicando as hipóteses do problema:
  • desprezo \Delta KE e \Delta PE, logo \Delta E=\Delta U;
  • processo isotérmico e gás ideal (ou substância cuja U depende apenas de T) ⇒ \Delta U=0.
Portanto:
\Delta E = 0 \quad\Rightarrow\quad 0 = Q - W.
Dessa equação segue imediatamente:
Q = W.
Interpretação física: durante a expansão o gás realiza trabalho sobre o êmbolo (energia sai do gás sob forma de trabalho); para que a temperatura permaneça constante a energia interna não pode mudar, então deve entrar calor do ambiente para repor a energia gasta como trabalho. Logo o calor trocado é positivo (entra no sistema) e igual em magnitude ao trabalho realizado pelo sistema.

Passo 4

Agora escrevo a expressão do trabalho de fronteira (trabalho pressão–volume). Para um processo que seja quasi‑estático (remoção gradual de pesos torna o processo essencialmente reversível), o trabalho é
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V.
Para gás ideal em processo isotérmico e reversível temos p=\dfrac{nR T}{V} (com n número de mols, R constante dos gases e T temperatura absoluta constante). Substituindo:
W=\int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Aqui as variáveis significam:
  • V_1 e V_2: volumes inicial e final do gás;
  • T: temperatura absoluta (constante no processo);
  • n: número de mols do gás;
  • R: constante universal dos gases.
Se preferir usar massa m e constante específica R_{\text{espec}}, a forma análoga é W = m R_{\text{espec}} T \ln(V_2/V_1).

Passo 5

Determinação dos sinais:
  • Se o processo é expansão real (isto é, o êmbolo se eleva e V_2>V_1), então \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)>0. Logo W>0 (o sistema realiza trabalho sobre o ambiente).
  • Pela relação simplificada Q=W, segue que Q>0 também — calor entra no sistema (do ambiente para o gás) para manter a temperatura constante.
  • Se fosse compressão ( V_2<V_1), os sinais invertiam: W<0 (trabalho é feito sobre o sistema) e Q<0 (calor sai do sistema).
Observação sobre irreversibilidades: removendo pesos gradualmente o processo é praticamente reversível; se os pesos fossem retirados de uma vez causando expansão violenta, o trabalho efetuado iria depender de p_{ext} e o processo seria irreversível — ainda assim a lei da conservação de energia vale, mas não seria aplicável a expressão W=nRT\ln(V_2/V_1) sem mais hipóteses.

Passo 6

Resumo físico e motivacional (respira, você chega lá): o gás expandiu fazendo trabalho, e como a temperatura foi mantida constante por remoção controlada de pesos, a energia interna não mudou; portanto todo trabalho realizado pelo gás foi reposto por calor entrando no sistema. Assim o balanço fica simples e intuitivo: calor entra, trabalho sai, e têm a mesma magnitude.

Resposta

\Delta U=0,\\ \Delta KE\approx0,\\ \Delta PE\approx0 \Rightarrow 0=Q-W \Rightarrow Q=W.
W=\int_{V_1}^{V_2}p\,\mathrm{d}V \quad(\text{quasi‑estático}) \quad\Rightarrow\quad W=nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).á
Para expansão ( V_2>V_1): W>0 (trabalho realizado pelo sistema) e Q>0 (calor entra no sistema).

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