Uma sequência
é definida por:
Mostre que
é divisível por 11.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede para mostrar que
é divisível por
.
O conteúdo principal é resolver uma recorrência linear não homogênea e depois aplicar aritmética modular.
O conteúdo principal é resolver uma recorrência linear não homogênea e depois aplicar aritmética modular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a recorrência. A parte homogênea é
cuja solução geral é
. Procuramos uma solução particular constante
que satisfaça
Logo a solução geral é
Passo 3
Usando a condição inicial
obtemos
Portanto a forma fechada é
Passo 4
Queremos
. Como
é suficiente mostrar que
é divisível por
.
- Note que para
temos , logo é par. - Resta provar que
é múltiplo de , ou seja
Passo 5
Pelo Teorema de Fermat para o primo
,
Escrevendo
segue
Como
e
, concluímos
Portanto
é múltiplo de
e já é par, logo é múltiplo de
. Assim
é um inteiro múltiplo de
.