Uma sequência a_{k} é definida por:
a_{0}=0, \quad a_{k+1}=3 a_{k}+1, \quad k>0 .
Mostre que a_{155} é divisível por 11.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_k\} por
a_{0}=0, \quad a_{k+1}=3\,a_{k}+1\quad(k\ge0),
e pede para mostrar que a_{155} é divisível por 11.
O conteúdo principal é resolver uma recorrência linear não homogênea e depois aplicar aritmética modular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a recorrência. A parte homogênea é
a_{k+1}^{(h)}=3\,a_{k}^{(h)},
cuja solução geral é A\cdot3^k. Procuramos uma solução particular constante p que satisfaça
p = 3\,p + 1 \quad\Longrightarrow\quad -2\,p = 1 \quad\Longrightarrow\quad p = -\tfrac12.
Logo a solução geral é
a_k = A\cdot3^k - \tfrac12.

Passo 3

Usando a condição inicial a_0=0 obtemos
0 = A\cdot3^0 - \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12.
Portanto a forma fechada é
a_k = \frac{1}{2}\bigl(3^k - 1\bigr).

Passo 4

Queremos 11\mid a_{155}. Como
a_{155} = \frac{3^{155}-1}{2},
é suficiente mostrar que 3^{155}-1 é divisível por 22.
  1. Note que para k\ge1 temos 3^k\equiv1\pmod2, logo 3^{155}-1 é par.
  2. Resta provar que 3^{155}-1 é múltiplo de 11, ou seja
3^{155} \equiv 1 \pmod{11}.

Passo 5

Pelo Teorema de Fermat para o primo 11,
3^{10}\equiv1\pmod{11}.
Escrevendo 155 = 15\cdot10 + 5 segue
3^{155} = \bigl(3^{10}\bigr)^{15}\cdot3^5 \equiv 1^{15}\cdot3^5 \equiv 3^5 \pmod{11}.
Como 3^5 = 243 e 243 = 22\cdot11 + 1, concluímos
3^{155}\equiv1\pmod{11}.
Portanto 3^{155}-1 é múltiplo de 11 e já é par, logo é múltiplo de 22. Assim
a_{155} = \frac{3^{155}-1}{2}
é um inteiro múltiplo de 11.

Resposta

a_{155} é divisível por 11.

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