Considere a equação quadrática x^{2}+p x+q=0 cujas raízes são \lambda, e \mu. Mostre que todas as soluções da recorrência:
x_{n+2}+p x_{n+1}+q x_{n}=0
são da forma:
(i)
x_{n}=A \lambda^{n}+B \mu^{n},
onde A e B são constantes reais. Desde que \lambda \neq \mu.
(ii)
x_{n}=A \lambda^{n}+B n \lambda^{n},
onde A e B são constantes reais. Desde que \lambda=\mu.

Passo 1

O enunciado nos dá a recorrência linear homogênea de segunda ordem
x_{n+2} + p\,x_{n+1} + q\,x_{n} = 0
e a equação quadrática associada
r^{2} + p\,r + q = 0
com raízes \lambda e \mu. O objetivo é encontrar todas as soluções (x_{n}) dessa recorrência, distinguindo os casos \lambda\neq\mu e \lambda=\mu.

Passo 2

Procuramos soluções da forma x_{n}=r^{n}. Substituindo na recorrência:
r^{n+2} + p\,r^{n+1} + q\,r^{n} = r^{n}\bigl(r^{2} + p\,r + q\bigr)=0.
Para r^{n}\neq0, exige-se
r^{2} + p\,r + q = 0,
que é justamente o polinômio característico.

Passo 3

Caso \lambda\neq\mu. As raízes distintas geram duas soluções independentes da recorrência, a saber
x_{n}^{(1)} = \lambda^{n} \quad\text{e}\quad x_{n}^{(2)} = \mu^{n}.
Por linearidade, a combinação geral é
x_{n} = A\,\lambda^{n} + B\,\mu^{n},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Caso \lambda=\mu. Aqui a equação característica tem raiz dupla \lambda. Sabe-se que uma segunda solução independente é dada por
x_{n}^{(2)} = n\,\lambda^{n},
pois substituindo na recorrência também satisfaz, e não é múltiplo escalar de \lambda^{n}. Logo, a solução geral é
x_{n} = A\,\lambda^{n} + B\,n\,\lambda^{n}.

Resposta

(i) Se \lambda\neq\mu, então
x_{n} = A\,\lambda^{n} + B\,\mu^{n}.
(ii) Se \lambda=\mu, então
x_{n} = A\,\lambda^{n} + B\,n\,\lambda^{n}.

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