Considere a equação quadrática
cujas raízes são
, e
. Mostre que todas as soluções da recorrência:
são da forma:
(i)
onde
e
são constantes reais. Desde que
.
(ii)
onde
e
são constantes reais. Desde que
.
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado nos dá a recorrência linear homogênea de segunda ordem
e a equação quadrática associada
com raízes
e
. O objetivo é encontrar todas as soluções
dessa recorrência, distinguindo os casos
e
.
Passo 2
Procuramos soluções da forma
. Substituindo na recorrência:
Para
, exige-se
que é justamente o polinômio característico.
Passo 3
Caso
. As raízes distintas geram duas soluções independentes da recorrência, a saber
Por linearidade, a combinação geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Caso
. Aqui a equação característica tem raiz dupla
. Sabe-se que uma segunda solução independente é dada por
pois substituindo na recorrência também satisfaz, e não é múltiplo escalar de
. Logo, a solução geral é
Resposta
(i) Se
, então
(ii) Se
, então