Uma sequência x_{n} é dada por:
x_{0}=2, \quad x_{1}=7, \quad x_{n+1}=7 x_{n}-12 x_{n-1} .
Determine o termo geral x_{n} dessa sequência.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{x_n\} por
x_{0}=2,\quad x_{1}=7,\quad x_{n+1}=7\,x_{n}-12\,x_{n-1}.
Isso é uma recorrência linear homogênea de ordem 2 com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
  1. formar o polinômio característico;
  2. encontrar suas raízes;
  3. escrever a solução geral;
  4. ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

O polinômio característico associado à recorrência
x_{n+1}-7\,x_{n}+12\,x_{n-1}=0
é
r^{2}-7r+12=0.

Passo 3

Resolvendo
r^{2}-7r+12=(r-3)(r-4)=0,
as raízes são r_{1}=3 e r_{2}=4.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência é da forma
x_{n}=A\cdot3^{n}+B\cdot4^{n},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Usamos as condições iniciais para montar um sistema:
para n=0\): \[x_{0}=A\cdot3^{0}+B\cdot4^{0}=A+B=2,
para n=1:
x_{1}=A\cdot3^{1}+B\cdot4^{1}=3A+4B=7.
Resolvendo
\begin{cases} A+B=2,\\\\ 3A+4B=7, \end{cases}
subtraindo 3\] vezes a primeira equação da segunda obtemos \(B=1 e, assim, A=1.

Resposta

x_{n}=3^{n}+4^{n}.

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