Para a sequência definida por x_{n+2}=2 x_{n+1}+x_{n}, x_{0} = 4, determine x_{5}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar x_{5} para a sequência definida pela relação de recorrência
x_{n+2}=2x_{n+1}+x_{n}
com a condição inicial dada \,x_{0}=4.\n
Informações relevantes que recebemos do enunciado:\n
  • A fórmula de recorrência é \,x_{n+2}=2x_{n+1}+x_{n}.\n
  • Foi dada apenas a condição inicial \,x_{0}=4.\n
  • Não foi dada explicitamente a condição \,x_{1}. Isso significa que, sem um valor numérico para \,x_{1}, só conseguimos expressar \,x_{5} em função de \,x_{1} e de \,x_{0}. Como \,x_{0} é conhecido, poderemos obter \,x_{5} como uma expressão envolvendo \,x_{1}. A conta numérica final só fica fechada se \,x_{1} for fornecido.

Passo 2

Entendendo a recorrência e como usá-la passo a passo.\n
A relação \,x_{n+2}=2x_{n+1}+x_{n} diz que para obter um termo novo da sequência basta conhecer os dois termos anteriores. Então podemos calcular os termos subsequentes \,x_{2},x_{3},x_{4},x_{5} em termos de \,x_{0} e \,x_{1} aplicando a fórmula repetidas vezes.\n
Primeiro calculemos \,x_{2} substituindo n=0 na recorrência:
x_{2}=2x_{1}+x_{0}.

Passo 3

Agora calculemos \,x_{3} usando \,n=1 na recorrência. Substituímos \,x_{2} obtido no passo anterior:
x_{3}=2x_{2}+x_{1}=2(2x_{1}+x_{0})+x_{1}.
Agora simplificamos somando os termos semelhantes:
x_{3}=4x_{1}+2x_{0}+x_{1}=5x_{1}+2x_{0}.

Passo 4

Calculamos \,x_{4} usando \,n=2 na recorrência e substituindo \,x_{3} e \,x_{2} já encontrados:
x_{4}=2x_{3}+x_{2}=2(5x_{1}+2x_{0})+(2x_{1}+x_{0}).
Agora simplificamos:
x_{4}=10x_{1}+4x_{0}+2x_{1}+x_{0}=12x_{1}+5x_{0}.

Passo 5

Finalmente calculamos \,x_{5} usando \,n=3 na recorrência, substituindo \,x_{4} e \,x_{3}:
x_{5}=2x_{4}+x_{3}=2(12x_{1}+5x_{0})+(5x_{1}+2x_{0}).
Simplificando os coeficientes:
x_{5}=24x_{1}+10x_{0}+5x_{1}+2x_{0}=29x_{1}+12x_{0}.
Agora substituímos a condição inicial conhecida \,x_{0}=4:
x_{5}=29x_{1}+12\cdot 4=29x_{1}+48.

Passo 6

Comentário didático rápido (opcional) sobre outro método: equação característica.\n
Para sequências lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma \,x_{n+2}=2x_{n+1}+x_{n}, existe um método geral que dá a forma fechada da sequência. Monta-se a equação característica
r^{2}-2r-1=0,
resolve-se para r e obtém-se raízes r_{1}=1+\sqrt{2} e r_{2}=1-\sqrt{2}. A solução geral tem forma
x_{n}=A(1+\sqrt{2})^{n}+B(1-\sqrt{2})^{n},
onde A e B são constantes determinadas por \,x_{0} e \,x_{1}. Se você quisesse, poderíamos usar isso para obter a mesma expressão para \,x_{5} em termos de \,x_{0} e \,x_{1}; o caminho por iteração que usamos é mais direto para calcular um termo baixo como \,x_{5}.

Resposta

\,x_{5}=29x_{1}+48

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