Para a sequência definida por
= 4, determine
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
para a sequência definida pela relação de recorrência
com a condição inicial dada
.\n
Informações relevantes que recebemos do enunciado:\n
Informações relevantes que recebemos do enunciado:\n
- A fórmula de recorrência é
.\n - Foi dada apenas a condição inicial
.\n - Não foi dada explicitamente a condição
. Isso significa que, sem um valor numérico para , só conseguimos expressar em função de e de . Como é conhecido, poderemos obter como uma expressão envolvendo . A conta numérica final só fica fechada se for fornecido.
Passo 2
Entendendo a recorrência e como usá-la passo a passo.\n
A relação diz que para obter um termo novo da sequência basta conhecer os dois termos anteriores. Então podemos calcular os termos subsequentes
em termos de
e
aplicando a fórmula repetidas vezes.\n
Primeiro calculemos substituindo
na recorrência:
A relação
Primeiro calculemos
Passo 3
Agora calculemos
usando
na recorrência. Substituímos
obtido no passo anterior:
Agora simplificamos somando os termos semelhantes:
Passo 4
Calculamos
usando
na recorrência e substituindo
e
já encontrados:
Agora simplificamos:
Passo 5
Finalmente calculamos
usando
na recorrência, substituindo
e
:
Simplificando os coeficientes:
Agora substituímos a condição inicial conhecida
:
Passo 6
Comentário didático rápido (opcional) sobre outro método: equação característica.\n
Para sequências lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma , existe um método geral que dá a forma fechada da sequência. Monta-se a equação característica
Para sequências lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
resolve-se para
e obtém-se raízes
e
. A solução geral tem forma
onde
e
são constantes determinadas por
e
. Se você quisesse, poderíamos usar isso para obter a mesma expressão para
em termos de
e
; o caminho por iteração que usamos é mais direto para calcular um termo baixo como
.