a) Verifique se f é contínua em ( 0,0 ).
b) Determine f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).
c) Verifique se f é diferenciável em (0,0).
d) Determine a derivada direcional de f em ( 0,0 ), na direção do vetor unitário u=(a, b).
(b) Calcular as derivadas parciais f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).
(c) Verificar se f é diferenciável em (0,0).
(d) Determinar a derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor unitário u=(a,b).
Informações dadas: a fórmula de f em todos os pontos e o valor em (0,0). Não há outras restrições. A resolução começa a seguir.]
Passo 2
Conceito que vamos usar (sem resolver ainda): para mostrar continuidade em (0,0) precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Uma maneira direta é obter uma desigualdade que force |f(x,y)| a ser pequeno quando (x,y) está próximo de (0,0). Vou construir essa desigualdade agora.
sempre que x\neq0. Se x=0 então o numerador é zero e o valor é 0, que também satisfaz a desigualdade. Assim, para todo (x,y) próximo de (0,0) vale
|f(x,y)| \le |x|.
Passo 4
Conclusão da continuidade usando a desigualdade.
Como |f(x,y)|\le |x| e \lim_{(x,y)\to(0,0)} |x| = 0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0).
Portanto f é contínua em (0,0).
(Comentário didático curto: outra forma seria usar coordenadas polares x=r\cos\theta e ver que f=r\cos^{3}\theta, que tende a 0 quando r\to0 para qualquer \theta. A desigualdade acima é mais elementar e suficiente.)
Passo 5
Definição de derivada parcial e cálculo de f_{x}(0,0).
Definição: a derivada parcial de f em x no ponto (0,0) é
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Para pontos da forma (h,0) com h\neq0 a função vale
para todo h\neq0. Tomando o limite quando h\to0 obtemos
f_{x}(0,0)=1.
Passo 6
Definição de derivada parcial em y e cálculo de f_{y}(0,0).
Definição: a derivada parcial de f em y no ponto (0,0) é
f_{y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}.
Para pontos da forma (0,k) com k\neq0 temos f(0,k)=\dfrac{0^{3}}{0^{2}+k^{2}}=0. Então
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0
para todo k\neq0. Logo
f_{y}(0,0)=0.
Passo 7
Conceito de diferenciabilidade em (0,0) e estratégia de verificação.
Definição (intuitiva e operacional): f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que, chamando (h,k) o deslocamento, a função se escreve
f(h,k)=f(0,0)+L(h,k)+o(\|(h,k)\|),
quando (h,k)\to(0,0). Aqui \|(h,k)\|=\sqrt{h^{2}+k^{2}} e o(\|(h,k)\|) significa que o resto dividido por \|(h,k)\| tende a 0. Se as derivadas parciais existem, o candidato natural para L é
L(h,k)=f_{x}(0,0)\,h+f_{y}(0,0)\,k,
ou seja L(h,k)=1\cdot h + 0\cdot k = h no nosso caso. Para provar (ou refutar) diferenciabilidade, calculamos o resto
não é zero (e, de fato, não existe como zero), então a condição para diferenciabilidade falha.
Passo 10
Conclusão sobre diferenciabilidade.
Como o resto dividido pela norma não tende a 0 (exibimos uma trajetória com limite igual a 1/(2\sqrt{2})\neq0), f não é diferenciável em (0,0), apesar de ser contínua e de possuir derivadas parciais em (0,0). (Comentário didático: isso ilustra que existência das derivadas parciais não garante diferenciabilidade; é preciso a aproximação linear com resto pequeno em todas as direções.)
Passo 11
Definição da derivada direcional e cálculo para u=(a,b) unitário.
Definição: a derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor unitário u=(a,b) é
Tomando t\to0 o limite é simplesmente a^{3}. Portanto
D_{u}f(0,0)=a^{3}.
Passo 12
Observações finais rápidas e encorajamento.
Conferência rápida: para u=(1,0) obtemos a=1 e D_{u}f(0,0)=1, que coincide com f_{x}(0,0); para u=(0,1) obtemos a=0 e D_{u}f(0,0)=0, que coincide com f_{y}(0,0).
No entanto, a dependência D_{u}f(0,0)=a^{3} não é linear em (a,b), o que é compatível com o fato de f não ser diferenciável em (0,0).
Vai dar certo — você já entendeu os pontos-chave desta função: continuidade, parciais, não diferenciabilidade e derivadas direcionais explícitas.
Resposta
(a) f é contínua em (0,0).\n(b) f_{x}(0,0)=1, f_{y}(0,0)=0.\n(c) f não é diferenciável em (0,0).\n(d) D_{u}f(0,0)=a^{3} (para u=(a,b) unitário).