Questão 2 [40 pontos] Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & ,(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
a) Verifique se f é contínua em ( 0,0 ).
b) Determine f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).
c) Verifique se f é diferenciável em (0,0).
d) Determine a derivada direcional de f em ( 0,0 ), na direção do vetor unitário u=(a, b).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede quatro coisas:
  1. (a) Verificar se f é contínua em (0,0).
  2. (b) Calcular as derivadas parciais f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).
  3. (c) Verificar se f é diferenciável em (0,0).
  4. (d) Determinar a derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor unitário u=(a,b).
Informações dadas: a fórmula de f em todos os pontos e o valor em (0,0). Não há outras restrições. A resolução começa a seguir.]

Passo 2

Conceito que vamos usar (sem resolver ainda): para mostrar continuidade em (0,0) precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Uma maneira direta é obter uma desigualdade que force |f(x,y)| a ser pequeno quando (x,y) está próximo de (0,0). Vou construir essa desigualdade agora.

Passo 3

Cálculo da desigualdade para a continuidade.
Para (x,y)\neq(0,0) temos
\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| = \frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Observação útil: x^{2}+y^{2}\ge x^{2}. Portanto
\frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{|x|^{3}}{x^{2}} = |x|,
sempre que x\neq0. Se x=0 então o numerador é zero e o valor é 0, que também satisfaz a desigualdade. Assim, para todo (x,y) próximo de (0,0) vale
|f(x,y)| \le |x|.

Passo 4

Conclusão da continuidade usando a desigualdade.
Como |f(x,y)|\le |x| e \lim_{(x,y)\to(0,0)} |x| = 0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0).
Portanto f é contínua em (0,0).
(Comentário didático curto: outra forma seria usar coordenadas polares x=r\cos\theta e ver que f=r\cos^{3}\theta, que tende a 0 quando r\to0 para qualquer \theta. A desigualdade acima é mais elementar e suficiente.)

Passo 5

Definição de derivada parcial e cálculo de f_{x}(0,0).
Definição: a derivada parcial de f em x no ponto (0,0) é
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Para pontos da forma (h,0) com h\neq0 a função vale
f(h,0)=\frac{h^{3}}{h^{2}+0^{2}}=\frac{h^{3}}{h^{2}}=h.
Logo
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h-0}{h}=1
para todo h\neq0. Tomando o limite quando h\to0 obtemos
f_{x}(0,0)=1.

Passo 6

Definição de derivada parcial em y e cálculo de f_{y}(0,0).
Definição: a derivada parcial de f em y no ponto (0,0) é
f_{y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}.
Para pontos da forma (0,k) com k\neq0 temos f(0,k)=\dfrac{0^{3}}{0^{2}+k^{2}}=0. Então
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0
para todo k\neq0. Logo
f_{y}(0,0)=0.

Passo 7

Conceito de diferenciabilidade em (0,0) e estratégia de verificação.
Definição (intuitiva e operacional): f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que, chamando (h,k) o deslocamento, a função se escreve
f(h,k)=f(0,0)+L(h,k)+o(\|(h,k)\|),
quando (h,k)\to(0,0). Aqui \|(h,k)\|=\sqrt{h^{2}+k^{2}} e o(\|(h,k)\|) significa que o resto dividido por \|(h,k)\| tende a 0. Se as derivadas parciais existem, o candidato natural para L é
L(h,k)=f_{x}(0,0)\,h+f_{y}(0,0)\,k,
ou seja L(h,k)=1\cdot h + 0\cdot k = h no nosso caso. Para provar (ou refutar) diferenciabilidade, calculamos o resto
R(h,k):=f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)=f(h,k)-h
e verificamos se R(h,k)/\sqrt{h^{2}+k^{2}}\to0.

Passo 8

Cálculo do resto R(h,k) de forma explícita.
Para (h,k)\neq(0,0) temos
R(h,k)=\frac{h^{3}}{h^{2}+k^{2}}-h = \frac{h^{3}-h(h^{2}+k^{2})}{h^{2}+k^{2}} = \frac{h^{3}-h^{3}-h k^{2}}{h^{2}+k^{2}} = -\frac{h k^{2}}{h^{2}+k^{2}}.

Passo 9

Teste do comportamento do resto dividido pela norma usando uma trajetória específica.
Vamos avaliar o quociente
\frac{|R(h,k)|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} = \frac{|h|\,k^{2}}{(h^{2}+k^{2})^{3/2}}.
Escolha a trajetória k=h (ou seja, aproximar (0,0) pela reta y=x). Substituindo k=h obtemos
\frac{|R(h,h)|}{\sqrt{h^{2}+h^{2}}} = \frac{|h|\,h^{2}}{(2h^{2})^{3/2}} = \frac{|h|^{3}}{(2^{3/2}|h|^{3})} = \frac{1}{2^{3/2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Esse valor é uma constante positiva (não depende de h) e, portanto, quando h\to0 a fração não tende a 0. Isso mostra que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}
não é zero (e, de fato, não existe como zero), então a condição para diferenciabilidade falha.

Passo 10

Conclusão sobre diferenciabilidade.
Como o resto dividido pela norma não tende a 0 (exibimos uma trajetória com limite igual a 1/(2\sqrt{2})\neq0), f não é diferenciável em (0,0), apesar de ser contínua e de possuir derivadas parciais em (0,0). (Comentário didático: isso ilustra que existência das derivadas parciais não garante diferenciabilidade; é preciso a aproximação linear com resto pequeno em todas as direções.)

Passo 11

Definição da derivada direcional e cálculo para u=(a,b) unitário.
Definição: a derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor unitário u=(a,b) é
D_{u}f(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f(ta,tb)-f(0,0)}{t}.
Para t\neq0 temos
f(ta,tb)=\frac{(ta)^{3}}{(ta)^{2}+(tb)^{2}} =\frac{t^{3}a^{3}}{t^{2}(a^{2}+b^{2})} =t\cdot\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}.
Como u é unitário, a^{2}+b^{2}=1. Assim
\frac{f(ta,tb)-0}{t}=\frac{t\cdot a^{3}}{1}\cdot\frac{1}{t}=a^{3}.
Tomando t\to0 o limite é simplesmente a^{3}. Portanto
D_{u}f(0,0)=a^{3}.

Passo 12

Observações finais rápidas e encorajamento.
  • Conferência rápida: para u=(1,0) obtemos a=1 e D_{u}f(0,0)=1, que coincide com f_{x}(0,0); para u=(0,1) obtemos a=0 e D_{u}f(0,0)=0, que coincide com f_{y}(0,0).
  • No entanto, a dependência D_{u}f(0,0)=a^{3} não é linear em (a,b), o que é compatível com o fato de f não ser diferenciável em (0,0).
Vai dar certo — você já entendeu os pontos-chave desta função: continuidade, parciais, não diferenciabilidade e derivadas direcionais explícitas.

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).\n(b) f_{x}(0,0)=1, f_{y}(0,0)=0.\n(c) f não é diferenciável em (0,0).\n(d) D_{u}f(0,0)=a^{3} (para u=(a,b) unitário).

Exercícios relacionados