O Teorema de Green nos permite substituir qualquer integral de linha por uma integral dupla. Escolha uma opção:
a. Verdadeiro ◯
b. Falso ◯
a. Verdadeiro ◯
b. Falso ◯
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
“A Teorema de Green nos permite substituir qualquer integral de linha por uma integral dupla.”
Informações dadas: a afirmação é geral — diz “qualquer integral de linha” — e pede escolher entre (a) Verdadeiro ou (b) Falso.
Objetivo deste exercício: decidir se a afirmação é correta e justificar de forma didática.
“A Teorema de Green nos permite substituir qualquer integral de linha por uma integral dupla.”
Informações dadas: a afirmação é geral — diz “qualquer integral de linha” — e pede escolher entre (a) Verdadeiro ou (b) Falso.
Objetivo deste exercício: decidir se a afirmação é correta e justificar de forma didática.
Passo 2
Vamos lembrar, com calma, o enunciado correto do Teorema de Green — isso é crucial para entender por que a afirmação geral pode falhar. O Teorema de Green diz o seguinte (forma padrão):
Aqui:
-
é a fronteira do domínio , percorrida com orientação positiva (ou seja, no sentido anti-horário). -
e são as componentes da forma diferencial . -
e são as derivadas parciais de e . - A igualdade vale quando:
é uma região planar apropriada (por exemplo, região limitada cujo contorno é formado por curvas simples e suaves, possivelmente com um número finito de “buracos”, mas então as curvas internas devem ser tratadas com orientação adequada) e e têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança aberta que contém .
Em palavras simples: o Teorema de Green transforma uma integral de linha sobre a borda de uma região
em uma integral dupla sobre
, mas só se as hipóteses (regularidade do campo
e do domínio
) forem satisfeitas.
Passo 3
Por que a afirmação “qualquer integral de linha” é suspeita? Porque há duas fontes de problema que impedem aplicar Green diretamente:
- O campo
pode não ser definido ou pode não ter derivadas parciais contínuas em todo o interior de . Se existir um ponto singular dentro da região (por exemplo, uma divisão por zero), a expressão do rotacional pode não existir lá, e a hipótese do teorema falha. - O domínio
pode não ser adequado (por exemplo, se a fronteira não for uma curva simples orientável, ou se tivermos singularidades no interior não tratadas). Em particular, se o campo não for definido em algum ponto do interior (um “buraco” onde o campo não existe), não podemos aplicar Green diretamente sem ajustar o domínio.
Para checar se a afirmação geral é verdadeira, precisamos dar um contraexemplo — um caso concreto em que a integral de linha existe e tem um valor diferente da integral dupla do rotacional porque uma hipótese do teorema falha.
Passo 4
Apresento um contraexemplo clássico (muito usado em provas): o campo rotacional que circula em torno da origem, definido em
por
Esse campo está definido para todos os pontos exceto o ponto
(há divisão por zero ali). Vamos calcular a integral de linha ao longo do círculo unitário
com
sendo o disco unitário centrado na origem. Parametrização do círculo:
. Então
Substituindo em
:
No círculo unitário
, então isso simplifica para
Agora com a parametrização:
Integrando de
a
:
Logo a integral de linha existe e vale
.
Passo 5
Agora tente aplicar o lado direito de Green: calcular o rotacional e integrá-lo sobre o disco
. Calculemos as derivadas parciais (em pontos onde
):
Fazendo as contas (pode verificar derivando), para todo ponto com
obtemos
Então, se ignorássemos o fato de que o campo não está definido na origem e integrássemos o rotacional sobre o disco inteiro, teríamos
Mas isso contradiz a integral de linha que calculamos,
. A razão disso não é erro de conta: é que a hipótese do Teorema de Green falha aqui — as derivadas parciais não são contínuas em uma vizinhança que contenha todo o disco porque o campo não está definido em
. O ponto singular na origem impede a aplicação direta do Teorema de Green. Por isso não podemos substituir “qualquer” integral de linha por uma integral dupla.
Passo 6
Para equilibrar a explicação, veja um exemplo em que Green funciona direitinho. Tome o campo simples
, que tem derivadas parciais contínuas em toda
. No círculo unitário parametricamente como antes:
logo
.
O rotacional é
e a integral dupla sobre o disco unitário dá
Aqui as hipóteses são satisfeitas (campo liso em uma vizinhança do disco e domínio regular), e os dois lados coincidem, conforme o Teorema de Green.
Passo 7
Conclusão didática e incentivo: o Teorema de Green é uma ferramenta poderosa — ele permite trocar integral de linha por integral dupla quando as hipóteses (regularidade de
e do domínio) são atendidas. Mas a palavra “qualquer” na afirmação do enunciado é fatal: existem integrais de linha (como a do exemplo com singularidade na origem) que não podem ser tratadas diretamente por Green. Então a afirmação geral é falsa. Fique animado: entender as hipóteses é a parte que mais aparece em prova, e com esses exemplos você já tem argumentos prontos para justificar a resposta.
Resposta
b. Falso