Dê uma sequência
que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
converge
converge.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê uma sequência
tal que ambas as séries abaixo sejam convergentes:
Ou seja, quero um exemplo de sequência cujo somatório (infinito) converge e, além disso, o somatório dos módulos também converge. Não é pedido provar rigorosamente, apenas fornecer um exemplo concreto.
Passo 2
Uma escolha simples e clássica é usar uma série geométrica com razão em valor absoluto menor que
. Defino a sequência pela fórmula
Isso significa
etc.
Passo 3
Lembra da soma parcial de uma geométrica? Para uma razão
com
e somando a partir de
temos a fórmula (mostro o raciocínio rápido):
Ao deixar
e usar
obtemos
No nosso caso
, que satisfaz
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso
temos
Como todos os termos
são positivos, temos
para todo
, logo
Portanto ambas as séries convergem (e convergem para
).
Passo 5
Resumo didático rápido: qualquer série geométrica com razão
tal que
é um exemplo de série absolutamente convergente, porque a soma dos módulos é a mesma (se os termos forem positivos) ou ao menos converge (se os termos forem alternados mas
). Se estiver nervoso na prova, lembrar: escolha uma geométrica com razão pequena, tipo
— funciona sempre.