Dê uma sequência (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| converge.

Passo 1

O enunciado pede que eu dê uma sequência (a_{n})_{n\in\mathbb{N}} tal que ambas as séries abaixo sejam convergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\qquad\text{e}\qquad \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|.
Ou seja, quero um exemplo de sequência cujo somatório (infinito) converge e, além disso, o somatório dos módulos também converge. Não é pedido provar rigorosamente, apenas fornecer um exemplo concreto.

Passo 2

Uma escolha simples e clássica é usar uma série geométrica com razão em valor absoluto menor que 1. Defino a sequência pela fórmula
a_{n}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Isso significa a_{1}=\tfrac{1}{2},\; a_{2}=\tfrac{1}{4},\; a_{3}=\tfrac{1}{8}, etc.

Passo 3

Lembra da soma parcial de uma geométrica? Para uma razão r com |r|<1 e somando a partir de n=1 temos a fórmula (mostro o raciocínio rápido):
\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Ao deixar N\to\infty e usar |r|<1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso r=\tfrac{1}{2}, que satisfaz |r|<1.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso a_{n}=(\tfrac{1}{2})^{n} temos
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=1.
Como todos os termos a_{n} são positivos, temos |a_{n}|=a_{n} para todo n, logo
\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=1.
Portanto ambas as séries convergem (e convergem para 1).

Passo 5

Resumo didático rápido: qualquer série geométrica com razão r tal que |r|<1 é um exemplo de série absolutamente convergente, porque a soma dos módulos é a mesma (se os termos forem positivos) ou ao menos converge (se os termos forem alternados mas |r|<1). Se estiver nervoso na prova, lembrar: escolha uma geométrica com razão pequena, tipo \tfrac{1}{2} — funciona sempre.

Resposta

a_{n}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}

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