Para cada função varphi abaixo decida se ela é um homomorfismo de anéis com unidade. Justifique brevemente suas respostas e no caso em que varphi é um homomorfismo de anéis, determine o núcleo de varphi.
\varphi: \mathbb{Z}_{2}[x] \rightarrow \mathbb{Z}_{2}[x]: \quad p(x) \mapsto(p(x))^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação \varphi:\mathbb{Z}_{2}[x]\to\mathbb{Z}_{2}[x] definida por \varphi(p(x))=(p(x))^{2}.
Pede-se: (i) decidir se \varphi é um homomorfismo de anéis com unidade e justificar; (ii) se for homomorfismo, determinar o núcleo \ker(\varphi)=\{p\in\mathbb{Z}_{2}[x]\mid \varphi(p)=0\}.

Passo 2

Vou recordar o que significa ser homomorfismo de anéis com unidade, porque isso guia a verificação. Uma aplicação entre anéis com unidade \varphi:A\to B é um homomorfismo de anéis com unidade se satisfaz três propriedades:
  1. Preserva soma: \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) para todos a,b\in A.
  2. Preserva produto: \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) para todos a,b\in A.
  3. Preserva a unidade: \varphi(1_A)=1_B.
    Além disso, o núcleo é definido por \ker(\varphi)=\{a\in A\mid \varphi(a)=0\}. Vou verificar cada propriedade para \varphi(p)=p^2.

Passo 3

Verificação da multiplicatividade. Para p,q\in\mathbb{Z}_{2}[x] temos
\varphi(pq)=(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=\varphi(p)\varphi(q).
Aqui usei apenas a regra de potências em anéis comutativos: (pq)^2=p^2q^2. Portanto a propriedade de multiplicação é satisfeita.

Passo 4

Verificação da aditividade. Para p,q\in\mathbb{Z}_{2}[x] calculemos
\varphi(p+q)=(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}.
Como estamos em \mathbb{Z}_{2} (característica 2), temos 2=0, logo 2pq=0. Assim
\varphi(p+q)=p^{2}+q^{2}=\varphi(p)+\varphi(q).
Portanto \varphi preserva soma. Esta identidade (p+q)^2=p^2+q^2 é uma forma do chamado homomorfismo de Frobenius em característica 2.

Passo 5

Verificação da preservação da unidade. A unidade em \mathbb{Z}_{2}[x] é o polinômio constante 1. Calculamos
\varphi(1)=1^{2}=1,
logo a unidade é preservada.

Passo 6

Conclusão das verificações: \varphi preserva soma, produto e unidade. Portanto \varphi:\mathbb{Z}_{2}[x]\to\mathbb{Z}_{2}[x] é um homomorfismo de anéis com unidade (é, na verdade, o endomorfismo de Frobenius dado por p\mapsto p^{2}).

Passo 7

Agora vou determinar o núcleo \ker(\varphi). Precisamos resolver \varphi(p)=0, ou seja
p^{2}=0
para p\in\mathbb{Z}_{2}[x]. Vou argumentar que isso implica p=0. Se p\neq 0 tem grau \deg(p)=n\ge 0. Então \deg(p^{2})=2\deg(p)=2n\ge 0, portanto p^{2} não é o polinômio zero (pois o polinômio zero tem grau -\infty). Logo não pode ocorrer p^{2}=0 quando p\neq 0. Assim a única solução é p=0.

Passo 8

Portanto o núcleo é trivial:
\ker(\varphi)=\{0\}.
(Isto também mostra que \varphi é injetora. Observação extra: \varphi não é surjetora em geral — por exemplo, x não é quadrado de nenhum polinômio em \mathbb{Z}_{2}[x] — mas isso não era pedido.)

Resposta

\varphi é um homomorfismo de anéis com unidade.
\ker(\varphi)=\{0\}.

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