Para cada função
abaixo decida se ela é um homomorfismo de anéis com unidade. Justifique brevemente suas respostas e no caso em que
é um homomorfismo de anéis, determine o núcleo de
.
.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
.
Pede-se: (i) decidir se é um homomorfismo de anéis com unidade e justificar; (ii) se for homomorfismo, determinar o núcleo
.
Pede-se: (i) decidir se
Passo 2
Vou recordar o que significa ser homomorfismo de anéis com unidade, porque isso guia a verificação. Uma aplicação entre anéis com unidade
é um homomorfismo de anéis com unidade se satisfaz três propriedades:
- Preserva soma:
para todos . - Preserva produto:
para todos . - Preserva a unidade:
.
Além disso, o núcleo é definido por. Vou verificar cada propriedade para .
Passo 3
Verificação da multiplicatividade. Para
temos
Aqui usei apenas a regra de potências em anéis comutativos:
. Portanto a propriedade de multiplicação é satisfeita.
Passo 4
Verificação da aditividade. Para
calculemos
Como estamos em
(característica
), temos
, logo
. Assim
Portanto
preserva soma. Esta identidade
é uma forma do chamado homomorfismo de Frobenius em característica
.
Passo 5
Verificação da preservação da unidade. A unidade em
é o polinômio constante
. Calculamos
logo a unidade é preservada.
Passo 6
Conclusão das verificações:
preserva soma, produto e unidade. Portanto
é um homomorfismo de anéis com unidade (é, na verdade, o endomorfismo de Frobenius dado por
).
Passo 7
Agora vou determinar o núcleo
. Precisamos resolver
, ou seja
para
. Vou argumentar que isso implica
. Se
tem grau
. Então
, portanto
não é o polinômio zero (pois o polinômio zero tem grau
). Logo não pode ocorrer
quando
. Assim a única solução é
.
Passo 8
Portanto o núcleo é trivial:
(Isto também mostra que
é injetora. Observação extra:
não é surjetora em geral — por exemplo,
não é quadrado de nenhum polinômio em
— mas isso não era pedido.)