Dê uma sequência (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
(a_{n})_{n \in \mathbb{N}} converge a zero mas \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge para um número diferente de zero.

Passo 1

O enunciado pede que eu forneça uma sequência (a_{n})_{n\in\mathbb{N}} que satisfaça duas condições:
  1. \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
  2. A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge para um número diferente de zero.
As informações relevantes são apenas essas duas — quero uma sequência cujos termos tendem a zero, mas cuja soma infinita (a série) converge para algum valor finito não nulo.

Passo 2

Uma escolha natural e simples são termos que formem uma progressão geométrica com razão entre -1 e 1 (exclusive). Vou usar a sequência
a_{n}=2^{-n}.
Essa sequência é positiva, decrescente e seus termos vão para zero conforme n\to\infty.

Passo 3

Agora mostro por que \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0. Temos
a_{n}=2^{-n}=\frac{1}{2^{n}}.
Como 2^{n}\to\infty quando n\to\infty, a fração \frac{1}{2^{n}} tende a 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

Passo 4

Vou calcular a soma da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}. Essa é uma série geométrica com razão r=\tfrac{1}{2} e primeiro termo a_{1}=2^{-1}=\tfrac{1}{2}. A soma da série geométrica com |r|<1 é dada por
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Aplicando com r=\tfrac{1}{2} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
Portanto a série converge e seu valor é 1, que é diferente de zero.

Passo 5

Resumo: a sequência a_{n}=2^{-n} satisfaz \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 e a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge para 1, ou seja, um número finito e distinto de zero.

Resposta

a_{n}=2^{-n}

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