Dê uma sequência
que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
converge a zero mas
converge para um número diferente de zero.
Passo 1
O enunciado pede que eu forneça uma sequência
que satisfaça duas condições:
-
. - A série
converge para um número diferente de zero.
As informações relevantes são apenas essas duas — quero uma sequência cujos termos tendem a zero, mas cuja soma infinita (a série) converge para algum valor finito não nulo.
Passo 2
Uma escolha natural e simples são termos que formem uma progressão geométrica com razão entre
e
(exclusive). Vou usar a sequência
Essa sequência é positiva, decrescente e seus termos vão para zero conforme
.
Passo 3
Agora mostro por que
. Temos
Como
quando
, a fração
tende a
. Portanto
Passo 4
Vou calcular a soma da série
. Essa é uma série geométrica com razão
e primeiro termo
. A soma da série geométrica com
é dada por
Aplicando com
obtemos
Portanto a série converge e seu valor é
, que é diferente de zero.
Passo 5
Resumo: a sequência
satisfaz
e a série
converge para
, ou seja, um número finito e distinto de zero.