Numa sequência de realizações independentes de uma prova de Bernoulli com probabilidade de sucesso
, seja
a v.a representativa do número de realizações até à ocorrência de
sucessos. Determine a função de probabilidade de
.
[Nota diz-se que
tem distribuição binomial negativa:
]
[Nota diz-se que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a função de probabilidade da variável aleatória $ X $, que representa o número de tentativas até conseguirmos $ k $ sucessos em uma sequência de provas de Bernoulli. Isso está dentro do campo de Distribuições de Probabilidade, mais especificamente na Distribuição Binomial Negativa. Para resolver, vamos precisar entender como funciona essa distribuição e como aplicar a fórmula adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma prova de Bernoulli. É um experimento que tem apenas dois resultados possíveis: sucesso (com probabilidade $ p $) ou fracasso (com probabilidade $ 1 - p $). As tentativas são independentes, ou seja, o resultado de uma não afeta o resultado das outras.
Passo 3
Agora, a variável $ X $ representa o número total de tentativas necessárias para obter $ k $ sucessos. Isso significa que, para $ X = n $, as primeiras $ n - 1 $ tentativas devem ter exatamente $ k - 1 $ sucessos, e a $ n $-ésima tentativa deve ser um sucesso.
Passo 4
Para calcular a probabilidade de exatamente $ k - 1 $ sucessos nas primeiras $ n - 1 $ tentativas, usamos a combinação $ \dbinom{n-1}{k-1} $, que conta de quantas maneiras podemos escolher onde ficam os sucessos.
Passo 5
A probabilidade de ter $ k - 1 $ sucessos e $ (n - 1) - (k - 1) = n - k $ fracassos nas primeiras $ n - 1 $ tentativas é $ p^{k-1} (1 - p)^{n - k} $.
Passo 6
Finalmente, a $ n $-ésima tentativa deve ser um sucesso, que tem probabilidade $ p $. Então, multiplicamos tudo para obter a probabilidade total.
Resposta
A função de probabilidade de $ X $ é dada por: