Os nascimentos num certo hospital ocorrem aleatoriamente a uma taxa média de 0.8 por hora. Assumindo o modelo de Poisson, determine a probabilidade de
(a) não ocorrerem nascimentos numa certa hora nesse hospital.
(b) ocorrerem mais do que 2 nascimentos numa certa hora nesse hospital.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o número de nascimentos em um hospital que segue uma taxa média de 0,8 por hora. A gente vai usar o modelo de Poisson, que é ótimo para eventos que acontecem de forma aleatória e independente ao longo do tempo. Vamos precisar da fórmula da distribuição de Poisson para calcular as probabilidades pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos em um intervalo é dada por:
k
onde:
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (neste caso, 0,8 nascimentos por hora),
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828),
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Agora, vamos aplicar isso para as duas partes da questão.

Passo 3

Parte (a): Queremos saber a probabilidade de não ocorrerem nascimentos numa certa hora, ou seja, $ P(X = 0) $.
Aplicando a fórmula:
P(X = 0)
Calculando isso:
P(X = 0) = e^-0,8 cdot 0,8^00! = e^-0,8 cdot 1 / 1 = e^-0,8
Parte (b): Agora, queremos a probabilidade de ocorrerem mais do que 2 nascimentos numa certa hora, ou seja, $ P(X > 2) $.
Sabemos que:
e^-0,8 approx 0,4493
Vamos calcular cada termo:
  1. Para $ k = 0 $:
P(X > 2)
  1. Para $ k = 1 $:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]
  1. Para $ k = 2 $:
k = 0
Somando essas probabilidades:
P(X = 0) = e^-0,8 approx 0,4493
Então:
k = 1

Resposta

(a) A probabilidade de não ocorrerem nascimentos numa certa hora é aproximadamente 0,4493 (ou 44,93%).
(b) A probabilidade de ocorrerem mais do que 2 nascimentos numa certa hora é aproximadamente 0,0476 (ou 4,76%).

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