A sequência de \underline{\boldsymbol{F} \boldsymbol{\operatorname { ibon }} \boldsymbol{a} \boldsymbol{c} \boldsymbol{c} \boldsymbol{i}} é uma sequência de inteiros tal que cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois termos precedentes, além disso, os dois primeiros termos são iguais a 1, em símbolos temos:
F_{1}=F_{2}=1 \quad \text { e } \quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}, \quad \forall n \geq 3
Com isso, prove as seguintes afirmações:
F_{1}+F_{2}+F_{3}+\ldots+F_{n}=F_{n+2}-1

Passo 1

O enunciado dá a sequência de Fibonacci com as informações seguintes:
F_{1}=F_{2}=1 \quad\text{e}\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\quad\forall n\ge 3.
A tarefa é provar a igualdade abaixo, para todo n natural:
F_{1}+F_{2}+F_{3}+\ldots+F_{n}=F_{n+2}-1.
Listei as hipóteses (valores iniciais e relação de recorrência) e o que se pede (a fórmula fechada para a soma parcial).

Passo 2

Vou usar o princípio da indução matemática. Vou explicar o porquê: a afirmação que queremos provar é uma igualdade que deve valer para todo n natural; o método da indução é a ferramenta padrão para mostrar que uma proposição que depende de n é verdadeira para todos os n. Indução tem duas partes essenciais:
  1. Base(s): verificar a igualdade para os primeiros valores de n (normalmente n=1, às vezes também n=2), para começar a “corrente”.
  2. Passo indutivo: assumir que a igualdade vale para um n qualquer (hipótese indutiva) e usar isso para provar que ela vale para n+1. Se essas duas partes funcionarem, a proposição vale para todo n.

Passo 3

Base da indução: verificamos para n=1 (e também n=2 para ficar mais seguro).
  • Para n=1: o lado esquerdo é F_{1}=1. O lado direito é F_{1+2}-1=F_{3}-1. Usando a recorrência, F_{3}=F_{2}+F_{1}=1+1=2. Logo F_{3}-1=2-1=1. Portanto a igualdade vale para n=1.
  • Para n=2: o lado esquerdo é F_{1}+F_{2}=1+1=2. O lado direito é F_{2+2}-1=F_{4}-1. Usando a recorrência, F_{4}=F_{3}+F_{2}=2+1=3. Então F_{4}-1=3-1=2. Portanto a igualdade vale para n=2.
    Assim, a base(s) está(ão) confirmada(s).

Passo 4

Hipótese indutiva: suponha que a fórmula seja verdadeira para um n fixo qualquer, isto é, suponha que
F_{1}+F_{2}+\cdots+F_{n}=F_{n+2}-1.
Isso significa que a soma dos primeiros n termos é exatamente F_{n+2}-1. A ideia agora é usar essa hipótese para mostrar que a fórmula vale também para n+1.

Passo 5

Passo indutivo: consideramos a soma dos primeiros n+1 termos e expressamo-la como a soma dos primeiros n termos mais o termo F_{n+1}:
F_{1}+F_{2}+\cdots+F_{n}+F_{n+1}
Usando a hipótese indutiva, substituímos a soma dos n primeiros termos por F_{n+2}-1. Assim:
F_{1}+F_{2}+\cdots+F_{n}+F_{n+1}=(F_{n+2}-1)+F_{n+1}.
Agora usamos a definição da sequência de Fibonacci: a soma F_{n+2}+F_{n+1} é, pela recorrência, igual a F_{n+3} (porque F_{n+3}=F_{n+2}+F_{n+1}). Portanto
(F_{n+2}-1)+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1=F_{n+3}-1.
Mas F_{n+3}-1 é exatamente a forma que a fórmula pede para n+1, isto é,
F_{1}+F_{2}+\cdots+F_{n}+F_{n+1}=F_{(n+1)+2}-1.
Assim mostramos que, se a fórmula vale para n, então vale para n+1.

Passo 6

Conclusão por indução: como verificamos a(s) base(s) ( n=1 e n=2) e provamos que a validade para n implica validade para n+1, pelo princípio da indução a igualdade
F_{1}+F_{2}+\cdots+F_{n}=F_{n+2}-1
vale para todo inteiro n\ge 1.

Passo 7

Vamos conferir com um exemplo numérico para fixar a intuição (só para você ver que bate): para n=5 temos F_{1}=1, F_{2}=1, F_{3}=2, F_{4}=3, F_{5}=5. Soma: 1+1+2+3+5=12. Do outro lado, F_{7}-1 com F_{7}=13 13-1=12. Perfeito — bate com a fórmula.

Resposta

F_{1}+F_{2}+\ldots+F_{n}=F_{n+2}-1

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