Demonstrar por “indução matemática”:
Passo 1
Enunciado a provar: mostrar que
.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar):\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar):\n
- A desigualdade deve valer para todo número natural
.\n - A propriedade básica de potências que vamos precisar é
.\n - O número
é positivo ( ), fato que permite multiplicar desigualdades por sem inverter o sinal.\n
Passo 2
Escolha do método e definição da proposição a ser provada: vamos usar o princípio da indução matemática — método natural para provar afirmações que dependem de um inteiro
.\n
Definimos a proposição como:
\n
Breve lembrete do que é indução (aqui explico como funciona, passo a passo):\n
Definimos a proposição
Breve lembrete do que é indução (aqui explico como funciona, passo a passo):\n
- Base (caso inicial): provamos que
é verdadeira para um valor inicial de (normalmente ou ).\n - Passo indutivo: assumimos que
é verdadeira para um arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, mostramos que também é verdadeira.\n
Se conseguirmos os dois passos, a conclusão do princípio da indução é queé verdadeira para todo .\n
Passo 3
Base da indução: verificar
.\n
Calculemos e
:\n
Calculemos
Como
, temos
, ou seja,
é verdadeira.\n
(Observação útil na prova: se sua convenção de começar em
, basta checar
:
, que também é verdade.)\n
(Observação útil na prova: se sua convenção de
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para um
arbitrário a proposição
é verdadeira, isto é,\n
Isso é apenas a suposição que nos permite avançar para provar o caso seguinte.\n
Passo 5
Passo indutivo (mostrar
a partir da hipótese): queremos provar
\n
Usamos a hipótese e multiplicamos ambos os lados por
. Como
, multiplicar por
preserva a desigualdade (regra: se
e
, então
).\n
Multiplicando, obtemos:\n
Usamos a hipótese
Multiplicando, obtemos:\n
Agora aplicamos a propriedade das potências
e
. Assim a desigualdade vira\n
que é exatamente
. Portanto, a partir da hipótese
conseguimos deduzir
.\n
Passo 6
Conclusão pela indução: como
é verdadeira (Passo 3) e usamos a hipótese
para provar
(Passos 4–5), pelo princípio da indução concluímos que
é verdadeira para todo
.\n
Pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: para temos
e
, e realmente
.\n
Força aí — a prova por indução é curta e direta: base ok, e ao multiplicar por na hipótese você sobe um degrau na potência.\n
Pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: para
Força aí — a prova por indução é curta e direta: base ok, e ao multiplicar por