Demonstrar por “indução matemática”:
2^{n}<2^{n+1}, \forall n \in N

Passo 1

Enunciado a provar: mostrar que \,2^{n}<2^{n+1},\;\forall n\in\mathbb{N}.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar):\n
  • A desigualdade deve valer para todo número natural n.\n
  • A propriedade básica de potências que vamos precisar é \,2^{n+1}=2\cdot 2^{n}.\n
  • O número 2 é positivo ( 2>0), fato que permite multiplicar desigualdades por 2 sem inverter o sinal.\n

Passo 2

Escolha do método e definição da proposição a ser provada: vamos usar o princípio da indução matemática — método natural para provar afirmações que dependem de um inteiro n.\n
Definimos a proposição P(n) como: \,P(n):\;2^{n}<2^{n+1}.\n
Breve lembrete do que é indução (aqui explico como funciona, passo a passo):\n
  • Base (caso inicial): provamos que P(n) é verdadeira para um valor inicial de n (normalmente n=0 ou n=1).\n
  • Passo indutivo: assumimos que P(k) é verdadeira para um k arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, mostramos que P(k+1) também é verdadeira.\n
    Se conseguirmos os dois passos, a conclusão do princípio da indução é que P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.\n

Passo 3

Base da indução: verificar P(0).\n
Calculemos \,2^{0} e \,2^{1}:\n
2^{0}=1,\qquad 2^{1}=2.\n
Como 1<2, temos \,2^{0}<2^{1}, ou seja, P(0) é verdadeira.\n
(Observação útil na prova: se sua convenção de \mathbb{N} começar em 1, basta checar P(1): \,2^{1}=2<4=2^{2}, que também é verdade.)\n

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que para um k\in\mathbb{N} arbitrário a proposição P(k) é verdadeira, isto é,\n
2^{k}<2^{k+1}.\n
Isso é apenas a suposição que nos permite avançar para provar o caso seguinte.\n

Passo 5

Passo indutivo (mostrar P(k+1) a partir da hipótese): queremos provar \,2^{k+1}<2^{k+2}.\n
Usamos a hipótese \,2^{k}<2^{k+1} e multiplicamos ambos os lados por 2. Como 2>0, multiplicar por 2 preserva a desigualdade (regra: se a<b e c>0, então ac<bc).\n
Multiplicando, obtemos:\n
2\cdot 2^{k}<2\cdot 2^{k+1}.\n
Agora aplicamos a propriedade das potências \,2\cdot 2^{k}=2^{k+1} e \,2\cdot 2^{k+1}=2^{k+2}. Assim a desigualdade vira\n
2^{k+1}<2^{k+2},\n
que é exatamente P(k+1). Portanto, a partir da hipótese P(k) conseguimos deduzir P(k+1).\n

Passo 6

Conclusão pela indução: como P(0) é verdadeira (Passo 3) e usamos a hipótese P(k) para provar P(k+1) (Passos 4–5), pelo princípio da indução concluímos que P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.\n
Pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: para n=3 temos 2^{3}=8 e 2^{4}=16, e realmente 8<16.\n
Força aí — a prova por indução é curta e direta: base ok, e ao multiplicar por 2 na hipótese você sobe um degrau na potência.\n

Resposta

\forall n\in\mathbb{N},\;2^{n}<2^{n+1}

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