Demonstrar por “indução matemática”:
5 \mid\left(8^{n}-3^{n}\right), \forall n \in N

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar por indução matemática que 5 divide 8^{n}-3^{n} para todo n natural. Ou seja, mostrar que
5 \mid \left(8^{n}-3^{n}\right)\quad\text{para todo}\quad n\in\mathbb{N}.
Informações dadas:
\text{expressão: }8^{n}-3^{n}.ã
\text{objetivo: provar que existe um inteiro \(t\) tal que }8^{n}-3^{n}=5t\text{ para todo }n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Primeiro, lembro o que significa a notação de divisibilidade e o esquema de prova por indução:
  • Definição de divisibilidade: 5\mid a significa que existe um inteiro t tal que a=5t.
  • Esquema de indução (princípio): para provar uma propriedade P(n) para todo n\in\mathbb{N} faz-se:
    1. Caso base: provar P(1) (ou P(0), conforme escolha).
    2. Passo indutivo: assumir P(k) verdadeira para um k arbitrário (hipótese de indução) e então provar P(k+1).
      Se ambos são feitos, conclui-se que P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Fazemos o caso base n=1. Avaliamos a expressão:
8^{1}-3^{1}=8-3=5.
Como 5=5\cdot 1, existe um inteiro (no caso 1) tal que a diferença é múltiplo de 5. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 4

Agora a hipótese de indução. Suponha que para um certo k\in\mathbb{N} a propriedade seja verdadeira, isto é, suponha que
5\mid\left(8^{k}-3^{k}\right).
Pela definição de divisibilidade, existe um inteiro m tal que
8^{k}-3^{k}=5m.
Essa é a nossa hipótese de indução; a partir dela vamos provar que a propriedade vale para k+1.

Passo 5

Queremos mostrar que 5\mid\left(8^{k+1}-3^{k+1}\right). Começamos manipulando a expressão:
8^{k+1}-3^{k+1}=8\cdot 8^{k}-3\cdot 3^{k}.
Uma técnica útil é tentar separar a expressão em partes que envolvem 8^{k}-3^{k}, porque sabemos algo sobre essa diferença pela hipótese. Vamos reescrever:
8^{k+1}-3^{k+1}=8\cdot 8^{k}-8\cdot 3^{k}+8\cdot 3^{k}-3\cdot 3^{k}.
Agrupando convenientemente:
8^{k+1}-3^{k+1}=8\left(8^{k}-3^{k}\right)+\left(8\cdot 3^{k}-3\cdot 3^{k}\right).

Passo 6

Continuando o cálculo da parcela final:
8\cdot 3^{k}-3\cdot 3^{k}=(8-3)\cdot 3^{k}=5\cdot 3^{k}.
Portanto juntando os termos:
8^{k+1}-3^{k+1}=8\left(8^{k}-3^{k}\right)+5\cdot 3^{k}.

Passo 7

Agora usamos a hipótese de indução 8^{k}-3^{k}=5m. Substituindo:
8^{k+1}-3^{k+1}=8\cdot(5m)+5\cdot 3^{k}=5\cdot(8m)+5\cdot 3^{k}=5\bigl(8m+3^{k}\bigr).
A expressão 8m+3^{k} é um inteiro (produto e soma de inteiros). Logo 8^{k+1}-3^{k+1} é igual a 5 vezes um inteiro, o que significa exatamente que 5\mid\left(8^{k+1}-3^{k+1}\right).

Passo 8

Concluímos o passo indutivo: a partir da verdade para k mostramos a verdade para k+1. Com o caso base em n=1 e o passo indutivo validados, pelo princípio da indução matemática a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

A afirmação é verdadeira: 5\mid\left(8^{n}-3^{n}\right) para todo n\in\mathbb{N}.

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