Demonstrar por “indução matemática”:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar por indução matemática que
divide
para todo
natural. Ou seja, mostrar que
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro, lembro o que significa a notação de divisibilidade e o esquema de prova por indução:
- Definição de divisibilidade:
significa que existe um inteiro tal que . - Esquema de indução (princípio): para provar uma propriedade
para todo faz-se: - Caso base: provar
(ou , conforme escolha). - Passo indutivo: assumir
verdadeira para um arbitrário (hipótese de indução) e então provar .
Se ambos são feitos, conclui-se quevale para todo .
- Caso base: provar
Passo 3
Fazemos o caso base
. Avaliamos a expressão:
Como
, existe um inteiro (no caso
) tal que a diferença é múltiplo de
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 4
Agora a hipótese de indução. Suponha que para um certo
a propriedade seja verdadeira, isto é, suponha que
Pela definição de divisibilidade, existe um inteiro
tal que
Essa é a nossa hipótese de indução; a partir dela vamos provar que a propriedade vale para
.
Passo 5
Queremos mostrar que
. Começamos manipulando a expressão:
Uma técnica útil é tentar separar a expressão em partes que envolvem
, porque sabemos algo sobre essa diferença pela hipótese. Vamos reescrever:
Agrupando convenientemente:
Passo 6
Continuando o cálculo da parcela final:
Portanto juntando os termos:
Passo 7
Agora usamos a hipótese de indução
. Substituindo:
A expressão
é um inteiro (produto e soma de inteiros). Logo
é igual a
vezes um inteiro, o que significa exatamente que
.
Passo 8
Concluímos o passo indutivo: a partir da verdade para
mostramos a verdade para
. Com o caso base em
e o passo indutivo validados, pelo princípio da indução matemática a propriedade vale para todo
.
Resposta
A afirmação é verdadeira:
para todo
.