A sequência de \underline{\boldsymbol{F} \boldsymbol{\operatorname { ibon }} \boldsymbol{a} \boldsymbol{c} \boldsymbol{c} \boldsymbol{i}} é uma sequência de inteiros tal que cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois termos precedentes, além disso, os dois primeiros termos são iguais a 1, em símbolos temos:
F_{1}=F_{2}=1 \quad \text { e } \quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}, \quad \forall n \geq 3
Com isso, prove as seguintes afirmações: \left(F_{n+1}\right)^{2}=F_{n} F_{n+2}+(-1)^{n}
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência de Fibonacci com as condições iniciais e a recorrência:
Dados fornecidos relevantes: os valores iniciais F_{1}=1, F_{2}=1 e a relação de recorrência entre termos consecutivos. O que se pede: provar que a identidade acima vale para todo n natural (normalmente n\ge 1).
Passo 2
Vamos usar o princípio da indução matemática. Antes de aplicar indução, explico de forma simples o que é e por que serve:
A indução prova que uma propriedade P(n) vale para todo n\ge n_0 em dois passos: (i) prova-se a base P(n_0); (ii) assume-se P(n) verdadeira para um n arbitrário e a partir disso mostra-se P(n+1). Se isso funciona, então P(n) vale para todo n\ge n_0.
Aqui a propriedade P(n) é justamente
P(n):\qquad F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}.
Também lembraremos que da recorrência se segue imediatamente que
Base da indução. Verificamos P(1) (ou, se preferir, também P(2) para mais segurança).
Para n=1:
O lado esquerdo é \left(F_{1+1}\right)^{2}=F_{2}^{2}. Como F_{2}=1, temos F_{2}^{2}=1.
O lado direito é F_{1}F_{3}+(-1)^{1}. Sabemos F_{1}=1 e pela recorrência F_{3}=F_{2}+F_{1}=1+1=2. Logo F_{1}F_{3}+(-1)^{1}=1\cdot 2+(-1)=2-1=1.
Portanto os dois lados coincidem e P(1) é verdadeira:
F_{2}^{2}=F_{1}F_{3}+(-1)^{1}=1.
(se quiser, cheque n=2 também:)
Para n=2: \left(F_{3}\right)^{2}=2^{2}=4. E F_{2}F_{4}+(-1)^{2}=1\cdot 3+1=4. Então P(2) também é verdadeira.
Passo 4
Passo indutivo. Suponha que P(n) seja verdadeira para um certo n\ge 1; isto é, suponha que
F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}.
Queremos mostrar P(n+1), isto é:
F_{n+2}^{2}-F_{n+1}F_{n+3}=(-1)^{\,n+1}.
Começamos manipulando o lado esquerdo de P(n+1). Use a recorrência para substituir F_{n+3} por F_{n+2}+F_{n+1}: