A sequência de \underline{\boldsymbol{F} \boldsymbol{\operatorname { ibon }} \boldsymbol{a} \boldsymbol{c} \boldsymbol{c} \boldsymbol{i}} é uma sequência de inteiros tal que cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois termos precedentes, além disso, os dois primeiros termos são iguais a 1, em símbolos temos:
F_{1}=F_{2}=1 \quad \text { e } \quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}, \quad \forall n \geq 3
Com isso, prove as seguintes afirmações:
\left(F_{n+1}\right)^{2}=F_{n} F_{n+2}+(-1)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de Fibonacci com as condições iniciais e a recorrência:
F_{1}=F_{2}=1 \quad\text{e}\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\quad\forall n\ge 3.
A afirmação que precisamos provar é:
\left(F_{n+1}\right)^{2}=F_{n}F_{n+2}+(-1)^{n}
ou, de maneira equivalente,
F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}.
Dados fornecidos relevantes: os valores iniciais F_{1}=1, F_{2}=1 e a relação de recorrência entre termos consecutivos. O que se pede: provar que a identidade acima vale para todo n natural (normalmente n\ge 1).

Passo 2

Vamos usar o princípio da indução matemática. Antes de aplicar indução, explico de forma simples o que é e por que serve:
  • A indução prova que uma propriedade P(n) vale para todo n\ge n_0 em dois passos: (i) prova-se a base P(n_0); (ii) assume-se P(n) verdadeira para um n arbitrário e a partir disso mostra-se P(n+1). Se isso funciona, então P(n) vale para todo n\ge n_0.
    Aqui a propriedade P(n) é justamente
P(n):\qquad F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}.
Também lembraremos que da recorrência se segue imediatamente que
F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\qquad\text{e, reorganizando,}\qquad F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}.

Passo 3

Base da indução. Verificamos P(1) (ou, se preferir, também P(2) para mais segurança).
Para n=1:
  • O lado esquerdo é \left(F_{1+1}\right)^{2}=F_{2}^{2}. Como F_{2}=1, temos F_{2}^{2}=1.
  • O lado direito é F_{1}F_{3}+(-1)^{1}. Sabemos F_{1}=1 e pela recorrência F_{3}=F_{2}+F_{1}=1+1=2. Logo F_{1}F_{3}+(-1)^{1}=1\cdot 2+(-1)=2-1=1.
    Portanto os dois lados coincidem e P(1) é verdadeira:
F_{2}^{2}=F_{1}F_{3}+(-1)^{1}=1.
(se quiser, cheque n=2 também:)
Para n=2: \left(F_{3}\right)^{2}=2^{2}=4. E F_{2}F_{4}+(-1)^{2}=1\cdot 3+1=4. Então P(2) também é verdadeira.

Passo 4

Passo indutivo. Suponha que P(n) seja verdadeira para um certo n\ge 1; isto é, suponha que
F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}.
Queremos mostrar P(n+1), isto é:
F_{n+2}^{2}-F_{n+1}F_{n+3}=(-1)^{\,n+1}.
Começamos manipulando o lado esquerdo de P(n+1). Use a recorrência para substituir F_{n+3} por F_{n+2}+F_{n+1}:
F_{n+2}^{2}-F_{n+1}F_{n+3} =F_{n+2}^{2}-F_{n+1}\bigl(F_{n+2}+F_{n+1}\bigr).
Agora distribuímos o produto:
F_{n+2}^{2}-F_{n+1}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}.
Agrupamos os dois primeiros termos em fator comum F_{n+2}:
F_{n+2}\bigl(F_{n+2}-F_{n+1}\bigr)-F_{n+1}^{2}.
Usamos a recorrência novamente para notar que
F_{n+2}-F_{n+1}=F_{n},
porque F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}. Substituindo:
F_{n+2}\bigl(F_{n}\bigr)-F_{n+1}^{2}=F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}.
Observe que isso é exatamente o negativo da expressão que aparece em P(n):
F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=-\bigl(F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}\bigr).
Pela hipótese indutiva F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}. Portanto
F_{n+2}^{2}-F_{n+1}F_{n+3}= -\bigl((-1)^{n}\bigr)=(-1)^{n+1}.
Isso mostra precisamente P(n+1).

Passo 5

Concluímos pela indução matemática: como P(1) é verdadeira e P(n)\Rightarrow P(n+1) foi provado, a identidade
F_{n+1}^{2}=F_{n}F_{n+2}+(-1)^{n}
vale para todo n\ge 1. Esta identidade é conhecida como a identidade de Cassini para os números de Fibonacci.

Resposta

F_{n+1}^{2}=F_{n}F_{n+2}+(-1)^{n},\quad \forall n\ge 1.

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