A sequência de \underline{\boldsymbol{F} \boldsymbol{\operatorname { ibon }} \boldsymbol{a} \boldsymbol{c} \boldsymbol{c} \boldsymbol{i}} é uma sequência de inteiros tal que cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois termos precedentes, além disso, os dois primeiros termos são iguais a 1, em símbolos temos:
F_{1}=F_{2}=1 \quad \text { e } \quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}, \quad \forall n \geq 3
Com isso, prove as seguintes afirmações:
Prove que F_{n}=\frac{\left[\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]}{\sqrt{5}}\, (fórmula de Binet), onde \(a>b e são raízes de: x^{2}=x+1)
Passo 1
O enunciado dá a sequência de Fibonacci com as condições iniciais e a recorrência:
(essa é a chamada fórmula de Binet). O enunciado também indica que a>b são as raízes da equação
x^{2}=x+1,
ou seja, a e b satisfazem essa equação (mais adiante vamos calcular a e b explicitamente).
Passo 2
Ideia do método (passo a passo): para resolver uma recorrência linear de ordem 2 com coeficientes constantes, tentamos uma solução da forma exponencial r^{n}. A razão é que se F_{n}=r^{n}, então substituindo na recorrência obtemos uma equação algébrica (característica) para r, que nos dá as possíveis “bases” das soluções. Vamos aplicar isso: suponha
F_{n}=r^{n}.
Substituindo na recorrência F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} obtemos
r^{n}=r^{n-1}+r^{n-2}.
Dividindo por r^{n-2} (assumindo r\neq 0) chega-se à equação característica
r^{2}=r+1.
Portanto os candidatos r são exatamente as raízes da equação dada no enunciado.
Passo 3
Resolver a equação quadrática \;r^{2}-r-1=0\; usando fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). As raízes são
Note que a>b e que ambas satisfazem r^{2}=r+1. Essas são as duas soluções fundamentais da equação característica.
Passo 4
Forma geral da solução: quando a equação característica tem duas raízes distintas a e b, a solução geral da recorrência linear homogênea é combinação linear das potências dessas raízes:
F_{n}=C_{1}a^{n}+C_{2}b^{n},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelos dados iniciais. Aqui estamos usando o fato (que vale demonstrar ou aceitar) de que a^{n} e b^{n} são duas soluções independentes da recorrência, então qualquer solução é combinação linear delas.
Passo 5
Determinar C_{1}\) e \(C_{2}\) usando \(F_{1}=1\) e \(F_{2}=1\). Para \(n=1\) e \(n=2\) temos o sistema
\[\begin{cases} C_{1}a + C_{2}b = 1,\\[4pt] C_{1}a^{2} + C_{2}b^{2} = 1. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema. Usando a regra de Cramer (ou operações elementares) o determinante da matriz dos coeficientes é
D = \begin{vmatrix} a & b \\[2pt] a^{2} & b^{2} \end{vmatrix} = a b^{2} - a^{2} b = ab(b-a).
Mas como a\] e \(b satisfazem r^{2}=r+1, multiplicando as raízes obtemos
ab = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{2} = \frac{1-5}{4}=-1.
e para n=2 usando a^{2}=a+1 e b^{2}=b+1 também dá 1. Logo as condições iniciais são satisfeitas.
Verificação da recorrência: como a^{n} e b^{n} individualmente satisfazem a relação r^{n}=r^{n-1}+r^{n-2} (pois r^{2}=r+1), a combinação linear C_{1}a^{n}+C_{2}b^{n} também satisfaz a recorrência (linearidade). Como o problema tem solução única dada as condições iniciais, a expressão que encontramos é a solução correta.
Observação prática: |b|<1 (b\approx -0,618), então b^{n} fica pequeno em módulo conforme n cresce; por isso para grandes n temos F_{n} muito próximo de a^{n}/\sqrt{5}. Ainda que a^{n} e b^{n} sejam irracionais, a combinação dá sempre inteiro porque ela coincide com os termos inteiros da recorrência (essa é uma consequência da prova acima).