A sequência x_{n} está definida pelas condições:
x_{1}=19, \quad x_{2}=97, \quad x_{n+2}=x_{n}-x_{n+1} .
  • Demonstre que existe um termo dessa sequência que é igual a zero.
  • Determine o índice n tal que x_{n}=0.

Passo 1

O enunciado define a sequência (x_n) por
x_{1}=19,\quad x_{2}=97,\quad x_{n+2}=x_{n}-x_{n+1}\quad\text{para }n\ge1.
Queremos mostrar se existe algum n com x_n=0. Para isso vamos transformar a recorrência numa forma “clássica” de Fibonacci e estudar as possibilidades de cancelamento.

Passo 2

Definimos a sequência auxiliar
z_n = (-1)^n\,x_n.
Então
z_{n+2}=(-1)^{n+2}x_{n+2} =(-1)^n \bigl(x_n - x_{n+1}\bigr) =(-1)^n x_n +(-1)^n x_{n+1} = z_n + z_{n+1}.
Logo (z_n) satisfaz a recorrência de Fibonacci
z_{n+2}=z_{n+1}+z_n.

Passo 3

Como solução geral de Fibonacci sabemos que existem constantes P,Q tais que
z_n = P\,F_n + Q\,F_{n+1},
onde \{F_k\} é a sequência de Fibonacci usual com F_1=1,F_2=1.

Passo 4

Determinação de P e Q pelas condições iniciais:
z_1 = (-1)^1 x_1 = -19,\quad z_2 = (-1)^2 x_2 = 97.
Por outro lado
z_1 = P\,F_1 + Q\,F_2 = P + Q = -19,
z_2 = P\,F_2 + Q\,F_3 = P + 2Q = 97.
Subtraindo, Q = 97-(-19)=116 e então P = -19 - Q = -135. Assim
z_n = -135\,F_n \;+\;116\,F_{n+1}.

Passo 5

Voltando a x_n, temos
x_n = (-1)^n\,z_n = (-1)^n\bigl(-135\,F_n +116\,F_{n+1}\bigr).
Para que x_n=0 seria necessário
z_n= -135\,F_n +116\,F_{n+1}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 116\,F_{n+1}=135\,F_n \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{135}{116}.
Mas os quocientes consecutivos \tfrac{F_{n+1}}{F_n} são números irracionais que convergem a \varphi\approx1,618 e, para n inteiro, nunca assumem o valor racional \tfrac{135}{116}.

Passo 6

Conclusão: não existe nenhum índice inteiro n tal que x_n=0.

Resposta

Não existe termo x_n igual a zero.

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