A sequência
está definida pelas condições:
- Demonstre que existe um termo dessa sequência que é igual a zero.
- Determine o índice
tal que
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Queremos mostrar se existe algum
com
. Para isso vamos transformar a recorrência numa forma “clássica” de Fibonacci e estudar as possibilidades de cancelamento.
Passo 2
Definimos a sequência auxiliar
Então
Logo
satisfaz a recorrência de Fibonacci
Passo 3
Como solução geral de Fibonacci sabemos que existem constantes
tais que
onde
é a sequência de Fibonacci usual com
.
Passo 4
Determinação de
e
pelas condições iniciais:
Por outro lado
Subtraindo,
e então
. Assim
Passo 5
Voltando a
, temos
Para que
seria necessário
Mas os quocientes consecutivos
são números irracionais que convergem a
e, para
inteiro, nunca assumem o valor racional
.
Passo 6
Conclusão: não existe nenhum índice inteiro
tal que
.
Resposta
Não existe termo
igual a zero.