Resolva as seguintes equações de recorrência com as condições iniciais indicadas:
(b) (n+1) x_{n+1}+n x_{n}=2^{n}-3, \quad com x_{1}=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência
(n+1)x_{n+1} + n\,x_{n} = 2^{n} - 3,
com condição inicial x_{1}=1.
O conteúdo envolve recorrências lineares de primeira ordem com coeficientes variáveis. Vamos definir uma nova sequência y_{n} que torne a relação mais simples.

Passo 2

Defina
y_{n} = n\,x_{n}.
Então (n+1)x_{n+1} = y_{n+1} e n x_{n} = y_{n}. Substituindo na recorrência original, obtemos
y_{n+1} + y_{n} = 2^{n} - 3.

Passo 3

A equação
y_{n+1} = -\,y_{n} + \bigl(2^{n} - 3\bigr)
é uma recorrência linear não-homogênea de primeira ordem.
  1. Solução da homogênea: y_{n+1}^{(h)} = -\,y_{n}^{(h)} leva a
y_{n}^{(h)} = C\,(-1)^{\,n-1}.
  1. Particular: tente y_{n}^{(p)} = a\,2^{n} + b. Então
y_{n+1}^{(p)} + y_{n}^{(p)} = a\,2^{n+1} + b + a\,2^{n} + b = 3a\,2^{n} + 2b
deve ser igual a 2^{n}-3. Logo
3a\,2^{n} = 2^{n}\implies a=\tfrac13, \quad 2b = -3\implies b=-\tfrac32.
Portanto
y_{n}^{(p)} = \frac{2^{n}}{3} - \frac{3}{2}.

Passo 4

A solução geral é
y_{n} = y_{n}^{(h)} + y_{n}^{(p)} = C\,(-1)^{\,n-1} + \frac{2^{n}}{3} - \frac{3}{2}.
Usando y_{1} = 1\cdot x_{1} = 1, temos
y_{1} = C\cdot(-1)^{0} + \frac{2^{1}}{3} - \frac{3}{2} = C + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} = C - \frac{5}{6} \overset!=1,
logo C = 1 + \tfrac{5}{6} = \tfrac{11}{6}. Assim
y_{n} = \frac{11}{6}\,(-1)^{\,n-1} + \frac{2^{n}}{3} - \frac{3}{2}.

Passo 5

Voltando a x_{n} = \tfrac{y_{n}}{n}, obtemos
x_{n} = \frac{1}{n}\Bigl(\frac{11}{6}(-1)^{\,n-1} + \frac{2^{n}}{3} - \frac{3}{2}\Bigr) = \frac{11\,(-1)^{\,n-1}}{6\,n} \;+\;\frac{2^{n}}{3\,n}\;-\;\frac{3}{2\,n}.
Reunindo numa única fração fica mais compacto:
x_{n} = \frac{11\,(-1)^{\,n-1} + 2^{n+1} - 9}{6\,n}.

Resposta

x_{n} = \frac{11\,(-1)^{\,n-1}}{6\,n} + \frac{2^{n}}{3\,n} - \frac{3}{2\,n} \quad\Longleftrightarrow\quad x_{n} = \frac{11\,(-1)^{\,n-1} + 2^{n+1} - 9}{6\,n}.

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