Dada a sequência ( a_{n} ) que satisfaz, para todo n, a relação:
a_{n+1}-2 a_{n}+a_{n-1}=1,
expresse a_{n} em função de a_{1}, a_{2} e n.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) sujeita à recorrência linear não homogênea de segunda ordem
a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=1,
com termos iniciais a_1 e a_2. Queremos encontrar a fórmula fechada de a_n em função de a_1, a_2 e n. Para isso, vamos:
  1. Resolver a parte homogênea.
  2. Encontrar uma solução particular.
  3. Ajustar as constantes pelos valores de a_1 e a_2.

Passo 2

A parte homogênea é
a_{n+1}^{(h)}-2a_n^{(h)}+a_{n-1}^{(h)}=0.
Assumindo a_n^{(h)}=r^n, obtemos a equação característica
r^2-2r+1=0\quad\Longrightarrow\quad (r-1)^2=0,
que tem raiz dupla r=1. Logo, a solução geral da parte homogênea é
a_n^{(h)}=C+Dn,
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 3

Para a solução particular (a_n^{(p)}), como o segundo membro é constante, tentamos um polinômio de grau 2:
a_n^{(p)}=An^2+Bn+K.
Substituindo na recorrência e igualando ao termo constante 1, encontra-se
2A=1\quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac12,
enquanto B e K podem ser absorvidos pela parte homogênea. Então uma escolha conveniente é
a_n^{(p)}=\tfrac12\,n(n-1),
pois a segunda diferença de \tfrac12n(n-1) é 1.

Passo 4

A solução geral é
a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = C + Dn + \tfrac12\,n(n-1).
Usando n=1\) e \(n=2\) para ajustar \(C\) e \(D\): \[\begin{cases} a_1 = C + D\cdot1 + 0,\\\ a_2 = C + D\cdot2 + 1, \end{cases}
D = a_2 - a_1 -1, \quad C = a_1 - D = 2a_1 - a_2 +1.
Substituindo em (a_n], obtemos
a_n = (2a_1 - a_2 +1) + (a_2 - a_1 -1)\,n + \tfrac12\,n(n-1).
Agrupando termos resulta na forma simplificada abaixo.

Resposta

\boxed{% a_n = a_1 + (n-1)\,(a_2 - a_1) \;+\;\frac{(n-1)(n-2)}{2}\,.% }

Exercícios relacionados