Dada a sequência (
) que satisfaz, para todo
, a relação:
expresse
em função de
e
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
sujeita à recorrência linear não homogênea de segunda ordem
com termos iniciais
e
. Queremos encontrar a fórmula fechada de
em função de
,
e
. Para isso, vamos:
- Resolver a parte homogênea.
- Encontrar uma solução particular.
- Ajustar as constantes pelos valores de
e .
Passo 2
A parte homogênea é
Assumindo
, obtemos a equação característica
que tem raiz dupla
. Logo, a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Para a solução particular
, como o segundo membro é constante, tentamos um polinômio de grau 2:
Substituindo na recorrência e igualando ao termo constante
, encontra-se
enquanto
e
podem ser absorvidos pela parte homogênea. Então uma escolha conveniente é
pois a segunda diferença de
é
.
Passo 4
A solução geral é
Usando
dá
Substituindo em (a_n], obtemos
Agrupando termos resulta na forma simplificada abaixo.
Agrupando termos resulta na forma simplificada abaixo.