Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de
e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a) Seja a sequência (
) tal que
e
para
.
b)
e
para
.
c)
e
para
.
d)
e
e
para
.
e)
para
.
f)
e
e
para
.
OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.
a) Seja a sequência (
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado apresenta seis sequências definidas por recorrências (algumas de segunda ordem) com condições iniciais. Em cada caso vamos:
- calcular
via recorrência; - observar o padrão para conjecturar uma expressão geral para
; - provar o palpite por indução finita, verificando a base e mostrando que a fórmula satisfaz a recorrência.
Passo 2
Caso (a):
e
para
. Dos cálculos
segue o palpite
. A prova por indução mostra que funciona:
- Base
: . - Passo indutivo: suponha
. Então
Passo 3
Caso (b):
e
para
. Calculando
vemos
para
(e
). Indução:
- Base
: . - Se
, então
Passo 4
Caso (c):
e
para
. Os sete primeiros termos são
o que sugere
para todo
. Indução:
- Bases
conferem. - Se
então da recorrência
logo
.
Passo 5
Caso (d):
e
para
. Os termos são
indicando
para
(e
). Indução:
- Bases em
. - Se
, então
logo
, compatível com
.
Passo 6
Caso (e):
e
. Calcula-se
Isso divide em duas sub-sequências:
- Se
, então
- Se
, então
Prova-se por indução dupla usando
.
Passo 7
Caso (f):
e
, que dá
Dos valores
segue
Basta induzir em
.
Resposta
(a)
(b) , e
para
(c)
(d) , e
para
(e) para ,
; para
,
.
(f) e
(b)
(c)
(d)
(e) para
(f)