Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de
e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
f)
e
e
para
.
OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.
f)
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e para todo
Queremos (i) os sete primeiros termos, (ii) adivinhar a fórmula geral de
e (iii) confirmar esse palpite pelo Método da Indução Finita.
Passo 2
Isolando
na recorrência, dividimos por
:
Logo
Passo 3
Usando
e
e a relação do passo anterior, calculamos:
Portanto os sete primeiros termos são:
Portanto os sete primeiros termos
Passo 4
Observamos que todos os termos de índice ímpar são zero e, para
Logo o palpite é
é ímpar},\[6pt] \dfrac{(-1){,n/2}}{2{,n},\bigl(n/2\bigr)!},&se
é par. \end{cases}]]
Passo 5
Prova por indução finita para
:
Base :
e a fórmula dá
.
Passo indutivo: suponha .
Então
Base
Passo indutivo: suponha
Então
que coincide com a fórmula para
.
Passo 6
Prova por indução finita para
ímpar:
Base :
.
Passo indutivo: se , então
Base
Passo indutivo: se
logo todos os termos ímpares são zero.
Resposta
Os sete primeiros termos são
A expressão geral é