Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
f) a_{0}=1 e a_{1}=0 e 2(n+2)(n+1) a_{n+2}+(n+1) a_{n}=0 para n \geq 0.
OBS: Os resultados obtidos serão utilizados na resolução de equações diferenciais. Em particular no Exercício (29) da Lista 3.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{0}=1,\quad a_{1}=0,
e para todo n\ge0
2(n+2)(n+1)\,a_{n+2}+(n+1)\,a_{n}=0.
Queremos (i) os sete primeiros termos, (ii) adivinhar a fórmula geral de a_{n} e (iii) confirmar esse palpite pelo Método da Indução Finita.

Passo 2

Isolando a_{n+2} na recorrência, dividimos por 2(n+2)(n+1):
a_{n+2}=-\frac{(n+1)}{2(n+2)(n+1)}\,a_{n} =-\frac{1}{2(n+2)}\,a_{n}.
Logo
a_{n+2}=-\frac{1}{2(n+2)}\,a_{n}.

Passo 3

Usando a_{0}=1 e a_{1}=0 e a relação do passo anterior, calculamos: a_{2}=-\tfrac{1}{2\cdot2}a_{0}=-\tfrac14, a_{3}=-\tfrac{1}{2\cdot3}a_{1}=0, a_{4}=-\tfrac{1}{2\cdot4}a_{2}=\tfrac{1}{32}, a_{5}=-\tfrac{1}{2\cdot5}a_{3}=0, a_{6}=-\tfrac{1}{2\cdot6}a_{4}=-\tfrac{1}{384}.
Portanto os sete primeiros termos (n=0,\dots,6) são:
1,\;0,\;-\tfrac14,\;0,\;\tfrac1{32},\;0,\;-\tfrac1{384}.

Passo 4

Observamos que todos os termos de índice ímpar são zero e, para n=2k\), \[a_{2k} = (-1)^k\bigl(2\cdot2\,\cdots\,2k\bigr)^{-1} = \frac{(-1)^k}{2^{2k}\,k!}.
Logo o palpite é
a_{n}= \begin{cases} 0,&\text{se \(n é ímpar},\[6pt] \dfrac{(-1){,n/2}}{2{,n},\bigl(n/2\bigr)!},&se n é par. \end{cases}]]

Passo 5

Prova por indução finita para n=2k:
Base k=0: a_{0}=1 e a fórmula dá \dfrac{(-1)^0}{2^0\,0!}=1.
Passo indutivo: suponha \displaystyle a_{2k}=\frac{(-1)^k}{2^{2k}k!}.
Então
a_{2k+2} =-\frac{1}{2(2k+2)}\,a_{2k} =-\frac{1}{2(2k+2)}\, \frac{(-1)^k}{2^{2k}k!} =\frac{(-1)^{k+1}}{2^{2k+2}(k+1)!},
que coincide com a fórmula para k+1.

Passo 6

Prova por indução finita para n ímpar:
Base n=1: a_{1}=0.
Passo indutivo: se a_{2k+1}=0, então
a_{2k+3} =-\frac{1}{2(2k+3)}\,a_{2k+1} =0,
logo todos os termos ímpares são zero.

Resposta

Os sete primeiros termos são
1,\;0,\;-\tfrac14,\;0,\;\tfrac1{32},\;0,\;-\tfrac1{384}.
A expressão geral é
a_{n}= \begin{cases} 0,&\text{se \(n\) é ímpar},\\[6pt] \dfrac{(-1)^{n/2}}{2^{n}\,(n/2)!},&\text{se \(n\) é par}. \end{cases}éíé]

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