Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
d) a_{0}=0 e a_{1}=1 e (n+2)(n+1) a_{n+2}-a_{n}=\frac{2}{n!} para n \geq 0.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{0}=0,\quad a_{1}=1,
e para n\ge0
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}-a_{n}=\frac{2}{n!}.
O que precisamos é:
  1. Calcular os sete primeiros termos a_{0},a_{1},\dots,a_{6}.
  2. Observar o padrão e formular uma expressão geral para a_{n}.
  3. Confirmar essa fórmula pelo método de indução finita.

Passo 2

Vamos usar
a_{n+2}=\frac{a_{n}+\dfrac{2}{n!}}{(n+2)(n+1)}
para obter os termos:
Para n=0:
2\cdot1\,a_{2}-a_{0}=2\implies 2a_{2}=2\implies a_{2}=1.
Para n=1:
3\cdot2\,a_{3}-a_{1}=2\implies 6a_{3}-1=2\implies a_{3}=\tfrac12.
Para n=2:
4\cdot3\,a_{4}-a_{2}=1\implies 12a_{4}-1=1\implies a_{4}=\tfrac16.
Para n=3:
5\cdot4\,a_{5}-a_{3}=\tfrac{2}{3!}=\tfrac13\implies 20a_{5}-\tfrac12=\tfrac13\implies a_{5}=\tfrac1{24}.
Para n=4:
6\cdot5\,a_{6}-a_{4}=\tfrac{2}{4!}=\tfrac1{12}\implies 30a_{6}-\tfrac16=\tfrac1{12}\implies a_{6}=\tfrac1{120}.
Assim, os primeiros sete termos são
a_{0}=0,\;a_{1}=1,\;a_{2}=1,\;a_{3}=\tfrac12,\;a_{4}=\tfrac16,\;a_{5}=\tfrac1{24},\;a_{6}=\tfrac1{120}.

Passo 3

Observando \,1,1,\tfrac12,\tfrac16,\tfrac1{24},\tfrac1{120}\dots, notamos que, para n\ge1,
a_{n}=\frac{1}{(n-1)!}.
Verificamos também que a_{1}=1/(1-1)!=1. Para n=0 a fórmula não vale, mas já temos a_{0}=0.

Passo 4

Prova por indução sobre [n\ge0) (indução forte):
Base n=0: já vimos que a_{0}=0 e a_{1}=1=1/0!.
Passo indutivo: suponha que para todo m\le n+1 valha
a_{m}=\begin{cases} 0,&m=0,\\\\ 1/(m-1)!,&m\ge1. \end{cases}
Então, usando a recorrência para índice (n],
a_{n+2} =\frac{a_{n}+\dfrac{2}{n!}}{(n+2)(n+1)} =\frac{\dfrac{1}{(n-1)!}+\dfrac{2}{n!}}{(n+2)(n+1)} =\frac{\dfrac{n+2}{n!}}{(n+2)(n+1)} =\frac{1}{(n+1)!},
que é exatamente o que queríamos. Isso completa a indução.

Resposta

Para n\ge1,
a_{n}=\frac{1}{(n-1)!},
e a_{0}=0.

Exercícios relacionados