Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
d) a_{0}=0 e a_{1}=1 e (n+2)(n+1) a_{n+2}-a_{n}=\frac{2}{n!} para n \geq 0.
Passo 1
O enunciado define a sequência (a_n) por
a_{0}=0,\quad a_{1}=1,
e para n\ge0
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}-a_{n}=\frac{2}{n!}.
O que precisamos é:
Calcular os sete primeiros termos a_{0},a_{1},\dots,a_{6}.
Observar o padrão e formular uma expressão geral para a_{n}.
Confirmar essa fórmula pelo método de indução finita.
Então, usando a recorrência para índice (n], a_{n+2} =\frac{a_{n}+\dfrac{2}{n!}}{(n+2)(n+1)} =\frac{\dfrac{1}{(n-1)!}+\dfrac{2}{n!}}{(n+2)(n+1)} =\frac{\dfrac{n+2}{n!}}{(n+2)(n+1)} =\frac{1}{(n+1)!},
que é exatamente o que queríamos. Isso completa a indução.