As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
- O enunciado dá a sequência
. - Pergunta: a sequência converge? Em caso afirmativo, calcular o limite
.
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): lidar com potências cuja base tende a
e expoente tende a infinito é mais fácil passando ao logaritmo natural. Vou transformar a sequência usando o logaritmo para trabalhar com uma soma/produto mais simples. Isso é permitido porque a função exponencial é contínua e estritamente crescente: se
e
, então
. Também vale o contrário: conhecer
é equivalente a conhecer
.
Passo 3
Calcular o logaritmo da sequência e reescrever de forma conveniente.
Defino
Usando a propriedade do logaritmo
, obtemos
Passo 4
Simplificar
para usar um limite padrão.
Note que podemos escrever
como produto de algo que tende a uma constante pelo quociente
. Fazer a álgebra:
Multiplicando e dividindo por
:
Portanto
Passo 5
Avaliar o limite do quociente
quando
— esse é o passo técnico essencial.
É um limite clássico que vale
Vou demonstrar isso de forma elementar usando a representação integral de
. Para
tem-se
Se
, então para
vale
. Integrando em
de
a
obtemos
Se
(mas
), o mesmo argumento com desigualdades trocadas também dá a mesma dupla desigualdade geral
Dividindo tudo por
(para
) e passando ao limite
obtemos
e como
, pelo teorema do confronto segue
.
Passo 6
Aplicar o resultado ao nosso caso.
No nosso caso tomamos
. Como
temos
. Pelo passo anterior,
Então, lembrando que
, segue
Passo 7
Voltar da escala logaritmica para a sequência original e concluir o limite.
Como
e a função exponencial é contínua, temos