As sequências abaixo convergem, calcule o seu limite, usando as propriedades de limite de sequência (Teorema 1.8 do caderno).
a_{n}=\left(\frac{n+3}{n}\right)^{\frac{n}{6}}.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\left(\frac{n+3}{n}\right)^{\frac{n}{6}}.
  • Pergunta: a sequência converge? Em caso afirmativo, calcular o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): lidar com potências cuja base tende a 1 e expoente tende a infinito é mais fácil passando ao logaritmo natural. Vou transformar a sequência usando o logaritmo para trabalhar com uma soma/produto mais simples. Isso é permitido porque a função exponencial é contínua e estritamente crescente: se \displaystyle b_n=\ln a_n e b_n\to L, então a_n=e^{b_n}\to e^{L}. Também vale o contrário: conhecer \lim a_n é equivalente a conhecer \lim \ln a_n.

Passo 3

Calcular o logaritmo da sequência e reescrever de forma conveniente.
Defino
b_n=\ln a_n=\ln\!\left(\left(\frac{n+3}{n}\right)^{\frac{n}{6}}\right).
Usando a propriedade do logaritmo \ln(x^{\alpha})=\alpha\ln x, obtemos
b_n=\frac{n}{6}\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right).

Passo 4

Simplificar b_n para usar um limite padrão.
Note que podemos escrever b_n como produto de algo que tende a uma constante pelo quociente \dfrac{\ln(1+3/n)}{3/n}. Fazer a álgebra:
b_n=\frac{n}{6}\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right) =\frac{1}{6}\cdot n\cdot\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right).
Multiplicando e dividindo por 3:
b_n=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot\frac{\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right)}{\frac{3}{n}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right)}{\frac{3}{n}}.
Portanto
b_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right)}{\tfrac{3}{n}}.

Passo 5

Avaliar o limite do quociente \dfrac{\ln(1+u)}{u} quando u\to0 — esse é o passo técnico essencial.
É um limite clássico que vale
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Vou demonstrar isso de forma elementar usando a representação integral de \ln. Para u>-1 tem-se
\ln(1+u)=\int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt.
Se u>0, então para t\in[0,u] vale \dfrac{1}{1+u}\le \dfrac{1}{1+t}\le 1. Integrando em t de 0 a u obtemos
\frac{u}{1+u}\le \ln(1+u)\le u.
Se u<0 (mas u>-1), o mesmo argumento com desigualdades trocadas também dá a mesma dupla desigualdade geral
\frac{u}{1+u}\le \ln(1+u)\le u.
Dividindo tudo por u (para u\neq0) e passando ao limite u\to0 obtemos
\frac{1}{1+u}\le \frac{\ln(1+u)}{u}\le 1,
e como \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{1}{1+u}=1, pelo teorema do confronto segue \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 6

Aplicar o resultado ao nosso caso.
No nosso caso tomamos u=\dfrac{3}{n}. Como n\to\infty temos u\to0. Pelo passo anterior,
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right)}{\frac{3}{n}}=1.
Então, lembrando que b_n=\dfrac{1}{2}\cdot\frac{\ln(1+3/n)}{3/n}, segue
\lim_{n\to\infty} b_n=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 7

Voltar da escala logaritmica para a sequência original e concluir o limite.
Como b_n=\ln a_n\to \tfrac{1}{2} e a função exponencial é contínua, temos
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} e^{b_n}=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

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